Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
S* (R)
Мы получили эти соотношения в конкретном представлении, однако можно
показать, что на самом деле коммутационные соотношения (12.11) являются
чисто алгебраическим следствием того факта, что операторы Wц =
щений. Операторы Llt L2, L3, подчиненные коммутационным соотношениям
(12.11), порождают алгебру Ли группы вращений. Всякому конкретному
представлению группы вращений отвечает конкретное представление алгебры
Ли, т. е. операторов Llt L2, L3. Алгебра Ли является более простым
объектом, чем сама группа, поэтому можно надеяться получить описание всех
представлений группы через представления алгебры Ли. Мы рассмотрим этот
подход в § 13.
Выделим в пространстве некоторую ось и будем рассматривать вращения на
всевозможные углы ф вокруг этой оси. Поскольку результаты вращений на
углы, различающиеся на 2nk, не отличаются друг от друга, мы можем
считать, что параметр ф пробегает интервал [0, 2л), рассматриваемый как
группа сдвигов по модулю 2л. Тогда ф->-Уф = ехр(-i(pL/n) является
унитарным представлением этой группы (здесь L - оператор углового момента
относительно выбранной оси). Пусть S - исходное состояние объекта,
приготавливаемое установкой, которая имеет определенное положение в
пространстве. Тогда
з
w*n.v= ехР - ТГ 2 фуХу ' (12Л0)
/=1
[Li, L2] = ihLs, [L2, Ь3] = ти, [L3> L!] = iftLs. (12.11)
образуют представление группы вра-
КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
165
состояние, приготавливаемое той же установкой, повернутой на угол ф вок
уг выделенной оси, дается соотношением
S^VvSVZ, 0<Ф<2л. (12.12)
Измерение {М (В)} со значениями в [0, 2л), удовлетворяющее условию
ковариантности
V$M(B) Уф = М(В_ф); йбе/([0, 2я)), (12.13)
где В_ф -сдвиг множества В по модулю 2л, можно рассматривать как
измерение угла поворота - параметра ф в семействе (12.12). Мы построим
некоторое каноническое решение уравнения (12.12), ограничившись случаем
нулевого спина.
Переходя к сферическим координатам
х: = р8т0со8ф, у*=р sin 6 этф, z = pcos0; р^гО, 0^ф<2л, О^0<л,
и полагая ф(х:, у, г) = ф(ф, 0, р), получим
Ж2 = 6> P)l2d<J>(sin0d0)(p2dp).
Отсюда ВИДНО, ЧТО аЙГ = е%^ф(2)е%^е(2)о?Гр, где е%^ф = = if2 ([0, 2л)), a
е, - гильбертовы пространства функций от 0 и р с соответствующими весами.
Выражение (12.7) для оператора углового момента можно записать в виде Ь =
М~1-щ. Этот оператор в пространстве <5?2 ([О, 2л)) с областью определения
(2л 1
ф: ф(0) = ф(2л), J -^-ф(ф)|2с!ф<оо1
является самосопряженным *). Обозначим через Ф эрмитов оператор умножения
на независимую переменнную ф. Операторы L, Ф удовлетворяют каноническому
коммутационному соотношению
[ф, ь\=т,
*) Это можно установить, переходя к пространству Р коэффициентов Фурье
функций фес2?2([0, 2л)) (ср. § 1V.9).
166
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
однако не на (L), а на более узком множестве (Я) =
= |ф: ф (0) = ф (2я) = 0, ^ j ф (cp) |2 d<p < оо|, поскольку
оператор Ф выводит функцию if е ^ (L) за пределы этого подпространства.
Более полезным является унитарный оператор U - е'ф, удовлетворяющий
соотношению
V*UVv = e^U. (12.14)
Вводя дискретную унитарную группу Um\ т = 0, ± 1, ..., получим аналог
коммутационных соотношений для фазы (см. § 10)
V$>UmV't = elm'fUm, UmV ^U-m = eim^V
0=^ф<2я, т = 0, ±1, ...
Рассмотрим спектральное разложение 2я 2я
ф = \ ф? (dcp), U = J E(dq>). о о
Ортогональное разложение единицы
Е (В) - 1д (ф); S?s/([ 0, 2я)), (12.15)
удовлетворяет соотношению ковариантности (12.13). Таким образом,
измерение параметра угла вращения может быть описано ортогональным
разложением единицы и эрмитов оператор ф (или унитарный оператор U)
определяет каноническую наблюдаемую угол поворота.
Возвращаясь к декартовым координатам и предполагая, что осью вращения
является е3, мы можем записать разложение единицы (12.15) в виде
Е (В) = 1#(В) (?х, ?а, Ы,
где К (В) - клин в трехмерном пространстве, описываемый соотношениями
^(?) = {[ii. ?а> Is]: -со<?3<со, |1 = гсовф,
= г sin ф, 0<г<оо, феЯ}.
ПОНЯТИЕ СПИНА
167
§ 13. Неприводимые представления группы вращений и понятие спина
Представление группы вращений (12.5) в =5?2(R3) не является неприводимым;
например, всякая сферически симметричная функция инвариантна относительно
преобразований (12.5). Можно было бы сослаться и на общую теорему теории
представлений, утверждающую, что у компактной группы, какой является
группа вращений, все неприводимые представления конечномерны. Мы видели в
§ 12, что задача описания всех неприводимых проективных представлений
группы вращений приводит к рассмотрению неприводимых представлений
алгебры Ли, порождаемой соотношениями
[/i, J%\ - ihJ3, [/3, /3] = iflJi, [/3. - (13.1)
Оказывается, что для любой конечной размерности d^ 2 существует одно
неприводимое представление соотношений (13.1); ему соответствует
неприводимое проективное представление группы вращений, которое может
быть построено по формуле
R -" U (R) = ехр
/=1
(13.2)
где фу - параметры вращения R, определяемые как в формуле (12.10).
