Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(2.4).
Таким образом, формула (2.4) устанавливает взаимнооднозначное аффинное
соответствие между двумя выпуклыми множествами: множеством всех
ковариантных (c)-измерений 3)! ((c)) и множеством ф эрмитовых операторов Р0 в
, удовлетворяющих условиям:
1) [Р0, = 0, geG0, где G0 - стационарная под-
группа точки 0О;
"31
СТРУКТУРА КОВАРИАНТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ
181
2) Р053 0;
3) S VgP0V*gv (dQ) s ^ 1^P0V> (dg) = I. e о
Наиболее неудобным здесь представляется последнее условие; оказывается,
что в случае неприводимого представления оно упрощается и множество ф
допускает очень простое описание.
Пусть g-->- Vg - неприводимое представление группы G в пространстве .
Предположим сначала, что группа G компактна; из общей теоремы теории
представлений вытекает, что всякое неприводимое представление G
конечномерно, так что d - dim Ш' < со. Для неприводимого представления
имеют место соотношенияортого-нальности
S Oh (IVPi) (Фа I УМ'г) Iх (dg) = с (ф2! фх) (фх | ф2), (2.8)
где с - коэффициент, зависящий от нормировки инвариантной меры р и равный
d-1 для принятой нами нормировки ц (G) = 1.
Так как всякий оператор Т в конечномерном пространстве является
оператором конечного ранга, Т = = 1 Ti) (ф-а 1 * то из (2-8)
и выражения (II. 1.17) для следа
оператора конечного ранга вытекает
$ Oh I VgTVl%) Iх (dg) = dr1 (ф! | ф?) Тг Т,
или
S VgTV&V (dg) = d-1 Тг T l. (2.9)
В частности, если S -оператор плотности, то
^ VgSV*g\x(dg) = d-4. (2.10)
Беря след от обеих частей этого равенства и замечая, что Тг VgSVf = TrS =
1, убеждаемся в правильности соответствия нашей нормировки значению c =
d~1. Если взять с = 1, то это соответствует нормировке
H(G) = dimo5r = d. (2.11)
Из (2.9) видно, что условие 3) в неприводимом случае эквивалентно тому,
что TrP0 = d; в совокупности с уело-
182
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
вием 2) это означает, что dr1 • Р0 является оператором плотности. Таким
образом, множество ф можно описать как множество операторов вида P0 - d-
S0, где 50 -произвольный оператор плотности, коммутирующий с операторами
{^eG0|. Отсюда вытекает
Предложение 2.2. Пусть g-+Vg - неприводимое представление компактной
группы G. Соотношение
M(dB) = d- VgSaVtv(dQ) (0 = g0o) (2.12)
устанавливает взаимно-однозначное аффинное соответствие между
ковариантными измерениями и операторами плотности S0, коммутирующими с
операторами \Vg\ g е G0), где G0 -стационарная подгруппа точки 0О. В
частности, крайними точками множества измерений будут те, которые
отвечают одномерным проекторам S0 = S^, m. е.
M(dB) = d-Ve\Vo) W>0! Vgv (d0).
Условие [5^0, Vg] = 0, g e G0, соответствует здесь тому, что
Vg I Фо) " I 'Mi g ^ Go,
где |^|=1.
Соотношения ортогональности (2.8) имеют место и для некомпактных
параметрических групп и их неприводимых представлений при условии
квадратичной интегрируемости матричных элементов (грх | У^2), g^G.
Нормируя теперь р так, что с= 1, получаем для любого оператора плотности
S
\VgSVivL(dg) = I (2-13)
в смысле слабой сходимости. Опираясь на этот факт, установим
характеризацию ковариантных измерений, аналогичную формуле (2.12). Теперь
мы предполагаем, что меры р и v нормированы так, что выполнено (2.13)
(для компактной группы это соответствовало бы нормировке (2.11)).
Теорема 2.2. Соотношение
М (В) = ^ V^SoVJv (<й) (0 = ?0О) (2.14)
в
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между измерениями {М{В)\,
ковариантными по отношению
СТРУКТУРА КОВАРИЛНТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ
183
к неприводимому квадратично-интегрируемому представлению g^~Vg группы G,
и операторами плотности Р0, коммутирующими с операторами {V g', g ^ G0}.
Интеграл в (2.14) понимается в смысле слабой сходимости-, если v (В) <
оо, то интеграл можно понимать как интеграл Бохнера функции со значениями
в l?1(e/f').
В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим совместные
измерения координаты - скорости (см. § III.7). Группа G здесь является
группой сдвигов (?, т]) (| + х, ri + u) плоскости 0 = R2.
Стационарная
подгруппа точки 0о = (О, 0) тривиальна, так что 0 = G.
Как было показано в гл. III, всякое непрерывное неприводимое проективное
представление этой группы (х, v) Wx, " унитарно эквивалентно
представлению Шредингера с некоторым значением рфО. Следовательно, оно
является квадратично-интегрируемым (предложение III.6.1), причем значению
с=1 отвечает инвариантная
мера " дп"' Используя доказанную теорему, получаем,
что всякое измерение М (dxdv), ковариантное по отношению к представлению
(х, v)^-Wxимеет вид
М (dx dv) = Wx, VS0W*X, "
а крайними точками являются измерения вида (III.7.5).
Мера точности <М {М} = {М} +.g"D,, {М} является
аффинным функционалом ковариантного измерения М; можно показать (см.
комментарии), что необходимые условия регулярности выполняются и [Щ
действительно достигает минимума в крайней точке множества ковариантных
измерений. Отсюда вытекает
Пр едложение 2.3. Каноническое измерение (III.7.7) является оптимальным в
классе всех ковариантных измерений координаты - скорости в смысле меры
