Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
" 0
о
Оператор Рв принадлежит множеству ф тогда и только тогда, когда Р0^=0, Тг
а это приводит к ограни-
чениям лр+а = л, Р^О, а + р^О, т. е.
0 = 1-2., 0*?а."? л.
П
Из теоремы 2.1 вытекает, что всякое ковариантное измерение параметра 0
имеет вид
М (dQ) = U [I + " (| 0О) (0О | - n-Ч)] U*v (dQ),
где v - инвариантная мера на единичной сфере 0, нормированная так, что v
(0) = 1, и а - вещественный параметр, пробегающий отрезок О^аз^п.
Отсюда следует, что множество ковариантных измерений как выпуклое
множество является отрезком с крайними точками
М* (dQ) = I • v (dQ)
и
М* (dQ) = nil 10О) ((c)о! U*v (dQ) - n 10) (0 | v (dQ). (4.4)
Первое разложение единицы соответствует измерительной процедуре, при
которой результат выбирается наугад в соответствии с равномерным
распределением v на 0. Измерение (4.4) является, очевидно, измерением
максимального правдоподобия для семейства (4.2).
Предл ожение 4.1. Измерение (4.4) является оптимальным для любой функции
отклонения вида (4.3), где W (¦) - произвольная неубывающая функция, не
равная тождественно постоянной.
Доказательство. Поскольку мера точности является аффинным функционалом
измерения, достаточно показать, что
194
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ IV
т. е. что
S W*. (9) п I (00! 0) |а V (dB) < 5 Wu (0) v (dB).
Полагая г = |(0о|0)|, перепишем это в виде
п ^ Г (1 - ra) rav (dB) < ^ W (1 - г2) v (dB).
В силу доказываемой ниже леммы, это эквивалентно неравенству
1 I
n\W(l-r*)r4(l-г2)"-1 > j Г (1 - ra) d (1 - г2)"-1, или
1
5^(1 -/-2)[(л-1)(1 -г*)п-2-п( 1 -r2)n-1]d/-a< 0. о
Переходя к переменной 6 = 1-г2, имеем
I
^ W (б) d (б"-1 - б") < 0.
0
Интегрируя по частям, получаем
1
J(6"-i-6") dW (б) > 0,
о
что, очевидно, выполняется для неубывающей функции W (б), поскольку б"-1
- бл>0 при 0 < б < 1.
Чтобы проиллюстрировать выигрыш от применения оптимального измерения,
приведем значения среднего отклонения для простейшей функции W(б) = б:
1
^{М*} = /г j 6(1-6)
0
1
е^{М*} = j бdS"-1^-. о
Отношение <?%{/И*; = минимально и равно 2/3 для двумерного гильбертова
пространства и стремится
*4
ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСТОГО СОСТОЯНИЯ
195
к 1 при п-*-со. Таким образом, в бесконечномерном гильбертовом
пространстве не существует лучшего способа оценить неизвестное чистое
состояние, чем простое угадывание.
Лемма 4.1. Для любой функции Р {•) вещественного переменного г
1
J F (|(Э01 S)|) v W =-\F(r)d( 1 - г2)"-*.
в о
Доказательство. Выберем базис {ej}t так что ei = 60, и обозначим (в/1 *)
= "/-)-фу, так что
в ="{",, Р/: 2("J + PJ)-1).
и г =¦= VГА + [)?• Мы докажем лемму, если установим, что
J v(d 6) = (1-р2)л-1, (4.5)
&i + &? > Р2 Рассмотрим вспомогательный интеграл
Рщ (Р> R)- ^ i dxi ... dxm.
*?+*|>Р2 *1+-.. + *т<Я2
Площадь единичной сферы в терминах этого интеграла равна, оче-dFm (О, R)
I
видно, - дЦ I < поэтому нормированная площадь фигуры,
вырезаемой на единичной сфере неравенством х2-|-х§3=р2, Дается выражением
дРщ (Р, R) dR
.dFm(0,R) R-i ' dR
R-l
Но эта нормированная площадь как раз и есть нужный нам интеграл (4.5),
если т - 2л. Имеем
*т
(р, /?) = $ ...Jf $$ dx1dx^\dxa...dxm=-
lp2 < х\+< "2 - *1 - ¦ ¦ ¦ >
= J-• -•¦-**")**, - dXm,
интегрирование ведется по области, где подынтегральное выражение
неотрицательно, т. е. х| +... + х*т sg ^2- р2. Обозначая через 5 m-г (г)
= сгт~3 площадь сферы х2 + ... + х^ = г2, имеем
V R2- р2
Fm (р, R)=cл J (Rz-p -r2)5m,2(r)d/- = c1(i?2-p2)'n/2f
196
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
(ГЛ. IV
д
откуда dRFm (р' R)
= с2(1-p2)(m 21/2, так что
Я-1
R)
R)
и соотношение (4.5) док зано
§ 5. Измерение параметров ориентации
Рассмотрим пример, приведенный в § 1. Пусть некоторая установка
приготовляет состояние S, инвариантное относительно вращений вокруг
некоторой оси я0:
/
S= Л, sm\m)(nt\,
т = -/
где | т) - собственные векторы оператора углового момента /" вокруг оси
я0 (см. § III. 13). Если установка затем поворачивается так, что ось я0
принимает новое положение n = gn0, где g - элемент группы вращений, то
приготавливаемое ею состояние будет описываться оператором плотности
S"=VgSV*, где -рассматривае-
мое неприводимое представление группы вращений в (2/ + 1)-мерном
гильбертовом пространстве Ориентация квантового объекта задается в этом
случае единичным вектором я, указывающим направление оси симметрии.
Предположим, что истинное направление я неизвестно и производятся
измерения М (dn) с целью оценить это направление я. Таким образом, мы
имеем семейство состояний {S"; я е S!), где S2 - единичная сфера в |R3,
которое ковариантно по отношению к представлению g-^Vg группы вращений.
Используя подход, развитый в § 3, рассмотрим, как точно можно оценить в
этой ситуации истинное направление оси симметрии я. Мы будем пользоваться
следующей функцией отклонения:
"7"(Я) = |Я-Я|2 = 2[1-яя], (5.1)
которая, очевидно, инвариантна. В качестве априорного распределения в
байесовской мере точности возьмем нормированную евклидову площадь \ (dn)
на сфере 5>2*
ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ
