Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
P0 = ?min^-, (3.7)
m|n
где dmin -размерность инвариантного подпространства, соответствующего
минимальному собственному значению Шплп- Так как W0 коммутирует с {Р^;
geG0}, то это же
190
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
верно и для ^ппп, так что оператор (3.7) удовлетворяет
всем необходимым условиям. Сформулируем полученный результат.
Предложение 3.1. Пусть g-^V g -неприводимое представление компактной
группы G преобразований множества 0. Тогда оптимальным является
ковариантное измерение
Минимум среднего отклонения равен Wmin-d, где wmin - минимальное
значение, Emin - проектор на соответствующее инвариантное подпространство
оператора апостериорного отклонения (3.5).
В классической статистике, помимо байесовского и минимаксного, существуют
и другие подходы к определению точности оценок параметров, например,
основанные на понятии несмещенности и неравенстве Рао - Крамера. Мы
рассмотрим их в гл. VI, а сейчас коротко остановимся на некоммутативном
аналоге метода максимального правдоподобия. Формально критерий
максимального правдоподобия соответствует байесовскому с равномерным
априорным распределением и функцией отклонения
Точнее, определим дельта-функцию на 0 формальным соотношением
для любой непрерывной f. Тогда взятая с обратным знаком байесовская мера
отклонения, соответствующая функции ^е0 (0) == - б0о (0), имеет вид
Этому выражению можно придать прямой смысл, если 0 - компактное множество
и пространство аЯГ конечномерно. В этом случае, рассуждая как и при
доказательстве теоремы 2.1, можно показать, что операторная мера М (dQ)
дифференцируема относительно скалярной меры
$бe.(0)/(0)v(d0)=/(0o)
$ Тг SeM (dQ).
(3.8)
ОЦЕНИВАНИЕ ЧИСТОГО СОСТОЯНИЯ
191
т (йВ) = 1тМ (dd), так что М (dB) = Р (В) m (йв), и интеграл (3.8) можно
определить как
5 Tr SeAi (dB) = ^ (Тг 5е^ (0)) m (dB). (3.9)
Измерение, максимизирующее этот функционал, называется измерением
максимального правдоподобия. Можно показать, что для ковариантного
семейства состояний 50=Иг5И| максимум величины (3.9) достигается на ко-
вариантном измерении. Для ковариантного измерения
(2.5) функционал (3.9) принимает вид TrS/V Таким образом, ковариантное
измерение максимального правдоподобия имеет вид (2.5), где Р0 - решение
задачи
тахТг5Д0; Р0 е ф.
В случае неприводимого представления g-*-Vg решение этой задачи
совершенно аналогично решению задачи
(3.6) и измерение максимального правдоподобия имеет вид
M(dB) = -~VeEmaxVlv(dB) (0=gfle),
шах
где Етах - проектор на собственное подпространство, отвечающее
максимальному собственному числу оператора 5 = Se0, a dmax - размерность
этого подпространства.
§ 4. Оценивание чистого состояния
Пусть вЖ' - гильбертово пространство конечной размерности п. Обозначим
через 0 единичную сферу в ; элементами 0 являются векторы 10) е <Ж,
имеющие единичную длину: (0|0) = 1. Множество 0 является параметрическим:
пусть {в/} - базис в тогда
П
|в) = 2 6/1*л
/=i.
где 6у - комплексные числа, удовлетворяющие условию t I 0/ I2 = J] [(Re
0/)2 + (Im 6/)2] = 1. (4.1)
i=i /=i
Группа G всех унитарных операторов в еЖ действует как компактная
транзитивная группа преобразований
192
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ IV
единичной сферы 0 по формуле U10) = | UB), (/eG. Инвариантная мера на 0
совпадает с евклидовой площадью на 2л-мерной вещественной сфере (4.1).
Всякому 6е0 отвечает чистое состояние
параметризация здесь не является точной, так как различным векторам,
отличающимся на множитель, по модулю равный единице, соответствует одно и
то же состояние. Ее можно сделать точной, потребовав, например, чтобы
11710! = О, но это нам не понадобится.
Если рассматривать действие самих операторов U в <Ж как представление
группы G, то семейство (4.2) ковариантно по отношению к этому
представлению:
Представление U-+U является, конечно, неприводимым.
Предположим, что рассматриваемый квантовый объект приготовлен в чистом
состоянии, относительно которого больше "ничего не известно", и требуется
по результатам квантовых измерений с максимальной точностью оценить
истинное состояние объекта. Мы можем сформулировать это как задачу
измерения параметра 0 в семействе состояний (4.2); в силу упомянутой
неоднозначности, речь будет идти по существу об оценивании чистого
состояния
Простейшей инвариантной функцией отклонения яв-
мы рассмотрим более общие функции отклонения вида
Опишем измерения параметра 0, ковариантные по отношению к представлению U
U унитарной группы G. Фиксируем 0О, например % = elt и рассмотрим
стационарную подгруппу G0 точки 0О. Очевидно, что она состоит из
унитарных операторов вида
S. = | в) (6
(4.2)
US,U* = j W) (UB | = Suе
We (в) = W (б).
(4.3)
где | А, | - 1, a U'0 - произвольный унитарный оператор в ортогональном
дополнении к вектору 10О). Эрмитов one-
оценивание чистого состояния
193
ратор Р0 коммутирует со всеми U0 <= G0 тогда и только тогда, когда
Р0 = а|60) (80 | + pi, где а, Р - вещественные числа, т. е.
а+р
Ро'
