Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
12). Опуская несущественные аргументы,
мы можем считать, что L = г1 - в пространстве (0, 2я)
212
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ГГЛ IV
с областью определения (/^) = if (0) = if (2л),
2л 1
S |^'Ф(а) 2^а<оо/. Функции ~=etma, m = 0, ± 1,
о >
образуют ортонормированный базис из собственных векторов оператора L.
Обозначая т-й собственный вектор через | т), будем иметь
L\m) - m\ m), т~0, ±1, ...
Операторы {ег1и"\ образуют бесконечномерное представление группы
поворотов окружности, и нас интересуют измерения ДО, ковариантные по
отношению к представлению ф ег Из доказываемого в следующем параграфе
общего результата вытекает, что, как и в рассмотренных выше случаях,
(т | М (сйр) | т') = е*- "*) фРтт, ^,
где [Ртт'] - бесконечная в обе стороны положительно определенная матрица
с единицами на диагонали.
Пусть в формуле (9.1) S = |if)(if|. Из результатов § 10 вытекает, что
измерение
(т | ДО* (Лр) | rn') = e'<m'-m) <гутут.^, (9.2)
еде ут = (т\ if)/| (т \ if) |, является оптимальным для любой функции
отклонения, удовлетворяющей условию (6.5). Переходя к новому базису
|m)'=ym|m), получаем
'(т | ДО* (<*ф) | ту = ("*-"•) ф g,
или, более строго,
*9J
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛА ПОВОРОТА
213
Это разложение единицы ортогонально; в самом деле, для любых Вх,
В,еа/([0, 2л)) таких, что В1{]В2 = ф, '(т ] М* (Вг) М* (В2) | т')' =
ОО
= 2 ^ ё(п~т)ф^? ^ ё(т'~л)ф ^'3=1
п=в-оо В, Bg
2л
= "(2^)3 j е'тфЬ, (ф) <г~1пПв, (ф) d<p = °
в силу равенства Парсеваля для рядов Фурье.
Покажем, что отвечающий спектральной мере М* (dq>) эрмитов оператор
совпадает с канонической наблюдаемой угла поворота, введенной в § III.
12. Для этого заметим, что оператор U = ^ (dq>) имеет матричные
элементы
[бт+ 1 - т']> т. е. U \т) = }т-\~\). Но это совпадает с действием
оператора умножения е1а на базисные функции
e'maj. Таким образом, 1) - есф, где Ф -оператор
умножения на независимую переменную в ^а([0, 2л)).
Каждое из ортогональных разложений единицы (9.2) описывает некоторую
наблюдаемую, которая дает наиболее точное измерение угла для
соответствующего семейства состояний. Таким образом, существует
бесконечно много наблюдаемых угла поворота, которые, впрочем, получаются
одна из другой простым изменением базиса |tfi)' = ym|m), где Ivml - 1.
Поскольку мы незнаем всех крайних точек множества ковариантных измерений,
остается открытым интересный вопрос -все ли крайние точки являются в этом
случае простыми измерениями.
Чтобы установить соотношения неопределенностей "угол - угловой момент",
введем эрмитовы операторы
C = ±-(U + U*), S = ±(U*-U),
удовлетворяющие соотношениям
C2-(-S2 = I, [С, S] = 0,
[С, L\ = iS, [5, L] = - iC.
Имеем
Е* (е*р) = C + iS, D* (в*ф) = D (С) + D (5),
214
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ГГ.ГТ TV
откуда, вновь вводя постоянную Планка й, получаем, как выше,
A(ip)D(L)>JV4, где Д(-) определяется формулой (7.2).
§ 10. Ковариантные измерения параметра поворота.
Случай произвольного представления группы Т
В §§ б -9 мы имели дело с различными представлениями одной и той же
группы поворотов окружности Т, или группы сдвигов по модулю 2я интервала
[0, 2п). Рассмотрим теперь эти случаи с общей точки зрения. Из
предложения III.2.1 вытекает, что произвольное проективное представление
группы Т имеет вид тр -{Ач, где А - самосопряженный оператор, спектр
которого должен быть сосредоточен в точках вида m = kJra0, где k - целые
числа, а0-несущественный постоянный добавок. Спектральное разложение
оператора А имеет вид
A = 2l"iEm. (10.1)
т
Здесь Ет - проектор на собственное подпространство Ж т, отвечающее
собственному значению т. Имеем
^ = ^0^, (Ю.2)
т
№=2 I'M2' ч?=2Ж. (10.3)
т т
где фт = Етф - компонента вектора ф в пространстве Мы будем писать ф =
[фт]. Отметим, что е^тф = [е^гф,,,].
Ограниченный оператор К в задается "ядром" - блоч-
ной матрицей [Ктт'], где Ктт-=ЕтКЕт> - оператор из <?hГт-в
Положительному оператору соответствует поло-
жительно определенное ядро [/(mm] 15=0; единичный оператор задается ядром
[бтт'1т], где 1т - единичный оператор в "ЯГт. Отметим, что мы получим
случаи, рассматривавшиеся в §§ 6, 8, 9, если т = - /, -/ + 1, ..., /; т =
0, 1, ... и т = 0, ±1, ... соответственно, причем во всех этих случаях
dim ?m= 1.
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРА ПОВОРОТА
215
Теорема 10.1. Измерения, ковариантные относительно представления ф 1Ач>
группы Т, описываются ядрами
где [Ктт'] - произвольное положительно определенное ядро такое, что
Ктт*~1т-
Доказательство. Согласно формуле (2.2)
2 я
где mes обозначает меру Лебега на прямой. Возьмем в качестве оператора
плотности 5 оператор Sm, действующий в пространстве е2Гт, т. е. SmEm =
EmSm^Sm. Тогда erlAfSmffAv*=Sm и, обозначая через Trm след в пространстве
"$Гт, имеем
где Мтт'(В) = ЕтМ(В) Ет>. Поскольку это выполняется для произвольного Sm
в &%Гт, то
Из положительности оператора М (В) и неравенства Коши - Буняковского
откуда, аналогично доказательству теоремы 2.2, получаем
где ртт' (•) - ограниченная операторнозначная функция, II Ртт' (ф)К 1
