Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
неопределенностей. Мы пойдем по другому пути и получим неравенство для
меры неопределенности, задаваемой формулой (7.2), которое будет иметь
форму соотношения неопределенностей:
A(<p)D(7)S*l/4. (7.3)
)
Пусть | ф) = 2 фт ! гп) - вектор чистого состояния и
т=-/
Л (ф) - неопределенность (7.2) для распределения вероятностей результатов
измерения Р (йф) = (ф | М (йф) ф).
Предложение 7.1. Для любого ковариантного измерения М угла ф
А(Ф)> &[l - ^(1Ф-у1а + 1Ф;1а)]'1[|0(У)-1 + |(|ф-/р + |ф/р)].
208
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
Соотношение неопределенностей (7.3) получается отсюда, если отбросить
неотрицательные слагаемые
^(1Чч1а + 1%12)-
Доказательство. Пусть М - ковариантное изме-
/
рение (6.2). Тогда E(ei<p) = 2 'pm-i't'mPm-i.m. откуда,
m=-/ + I
согласно (6.7),
1
| Е (е,ф) | Е* (е,Чр)= ?
m*-/+1
где звездочкой отмечено математическое ожидание, отвечающее распределению
(d(p) ~ (xpl М* (^ф)^) оптимального измерения (6.4). Поэтому
Д(ср)^Д*(ф)
и нам достаточно рассмотреть измерение М*.
Введем операторы
2 л
Е± = $ М* (^ф).
о
Используя (6.4) и полагая Ут = ,фт/|^т|" получаем
/
?-= 2] Vm-iVm I WX - 1) (т j,
m==7/+1 (7.4)
?+= 2 VmYm-1 I /И) (/И - 1 1-
m = -/ +1
Отметим, что, выбирая новый базис | /л)' = ут \т), мы всегда можем
привести Е+ к каноническому виду
Е- = 2j I т- *) (т1, Е+=;'?1\т)(т-1\.
пг т
Из (7.4) легко получаем, что Е_ - Е* и
Е-Е+ = I - I /) (/1, Е+Е- = I - | - /)(-/1; (7.5)
[?., /] = ?_, [?+, 7] = - Е+. (7.6)
"УГОЛ - угловой момент"
209
Введем операторы С = у (?'+ + ?'_), 5==у (?'+ - ?'-). Из
(7.6) и (7.6) получаем соответственно
С2 -f S2 =* I - у [| /) (/1 +1 - /) (- /1],
(7-7)
[с, S]=у[- I /) (/1 +1 - /) (- /13;
[С, J] = ts, [S, J]--iC. (7.8)
Из двух последних соотношений и соотношения неопределенностей (11.6.9)
получаем
D(C)D(/)S*y52, D(S) D(/)Ssy С2, (7.9)
где А = (ф | Лф) - среднее значение наблюдаемой А относительно состояния
"S - j ij?) ("ф j.
2я
Легко видеть, что Е* (el<f) == J elf (ф | М (dq>) ф) = Е_ =
о
= С + iS, откуда
| Е* (егф) J2 = С2 + S2, Д* (ф) = (1 - С2 - 52)/(С2 + S2).
Используя первое из соотношений (7.7) и тот факт, что D (С) ¦= С2 - С2,
D(S) = S2-52, получаем
А*(ф)!
C"+S"
Применив неравенство (7.9), получаем
А* (ф) ^ 4- D (/) + у (| ф_у |2 +1 фу |2) • | Е* (е*) |-",
поскольку | /) (/' | = | фу |2. Учитывая, что | Е* (в/ф) |-* - = А" (ф) +
1, приходим к искомому неравенству.
Установим также соотношение между средним отклонением (6.9) и
неопределенностью результатов измерения угла А (ф). Для любого
ковариантного измерения Ж
{Ж} = Е (4 sin2 у) = Е (I ei(f - 112) == 2 (1 - Re Е (е*)) 3* ^ 2 (1 -1 Е
(е*) | > 1 -1Е (е'ф) |2 -
210
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
Используя соотношение неопределенностей, получаем нижнюю границу для
минимального среднего отклонения (6.9)
е^о {М} Г--------1
[о (/)+!]
§ 8. Измерение фазы гармонического осциллятора. Соотношение
неопределенностей "фаза-число квантов"
Пусть - бесконечномерное гильбертово пространство, ||л); л""0, 1, ..-
ортонормированный базис и N - оператор числа квантов:
S я|п)(п|.
п = 0
Рассмотрим семейство состояний
Se = eW0Se- w0; 0 ^ 0 < 2я,
где 0 - параметр фазы квантового осциллятора (см. § 111.10).
Охарактеризуем измерения, ковариантные по отношению к представлению б-
^е'^0 группы сдвигов по модулю 2л. Так как представление бесконечномерно,
то теорема 2.1 здесь непосредственно неприменима, однако из доказываемой
ниже теоремы 10.1 вытекает, что ковариантные измерения имеют здесь ту же
структуру, что и в случае угла поворота:
(/*|M(de)|n') = e'<-"')0p"".^-,
где [Рлл'] - бесконечная положительно определенная матрица с единицами на
диагонали. Из общих результатов § 10 вытекает также, что измерение
(п|МЛ^)|л')=^"-"'>0^ • (8.1)
является оптимальным для любой функции отклонения, удовлетворяющей
условиям теоремы 6.1, и для исходного состояния S = | ф) (ф |, где ф = ^
ф" | п).
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛА ПОВОРОТА
211
Если ф"^:0, то мы получаем каноническое измерение фазы (111.10.13).
Заметим, что всякое измерение вида (8.1)
приводится к каноническому заменой базиса | л)'= j^|| л).
Вводя оператор фазы (III. 10.12) для измерения (8.1):
2л 2я
Р = $ ЛИ* (d8), Р* = 5 е-'вм* (<М)
о о
и соответствующие операторы С - ^(Р-\-Р*), 5 = ^х Х(Р*-Р),
удовлетворяющие соотношениям
Са + S2 = I - у 10) (01, [С, 5] = у |0) (0|,
[С, N]~iS, [S, N] = - iC,
можно доказать аналог предложения 7.1: неопределенность распределения
вероятностей для любого ковариантного измерения фазы относительно чистого
состояния | ф) (ф | удовлетворяет неравенству
А (0) ^ [ 1 -11 (ф 10) I"]'1 [1D (IV)-" +11 (ф 10) |"].
Его следствием является соотношение неопределенностей "фаза - число
квантов":
А (0) D (N) 1/4,
где А(-) определяется по формуле (7.2).
§ 9. Измерение угла поворота в случае пространственных степеней свободы
Полагая h = 1, рассмотрим семейство состояний
S(p = e^'LfSeiL'P; 0=^ф<;2я, (9.1)
где L - оператор углового момента вокруг фиксированной оси (см. § III.
