Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Es (Р) = 5 Рр (dP dQ), Es (Q) = $ Qp (dP dQ).
Состояния вида (1.2) называются квазикласеическими\ формула (1.2)
определяет аффинное отображение симплекса распределений вероятностей р в
выпуклое множество квантовых состояний. Можно показать, что этс
отображение взаимно-однозначно; отсюда вытекает, что не всякое квантовое
состояние представимо в виде (1.2), где р - распределение вероятностей; в
противном случае квантовые состояния образовывали бы симплекс.
Предположим, что объект подвергается большом} числу независимых
одинаковых случайных воздействий, так что результирующее воздействие
характеризуется
S S
параметрами Р = ^ PJt Q= ^ QJt где (Ру, Qj) - незави-/=1 /=1
симые одинаково распределенные пары случайных величин. Тогда в силу
классической центральной предельной теоремы распределение р (dP dQ) будет
близко к гауссовскому, а в пределе s-^-oo будет равно ему. Получаемые
таким образом состояния являются частным случаем гауссовских состояний,
которые будут подробно изучены в настоящей главе.
Введем комплексную переменную ?= (oQ+iftP_
У 2йш
(см. § III.11) и рассмотрим специальное квазиклассиче-ское гауссовское
состояние
S = -= $ \Z)(Z\e-uw"dK. (1.3)
Вещественный параметр N, как мы сейчас покажем, равен среднему значению
наблюдаемой числа квантов N (III. 10.9). Вычислим матричные элементы
оператора S
230
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
в базисе ||п)} из собственных векторов оператора N. Имеем
учитывая формулу (III. 11.6) и полагая ? = ге!'ф, получаем
-0"т-д?+1
Отсюда следует, что оператор S диагоналей в представлении Фока, а именно
Вычисляя среднее значение наблюдаемой числа квантов
убеждаемся, что оно совпадает с N.
В статистической физике большую роль играют так называемые гиббсовские
состояния, которые определяются следующим образом. Если энергия объекта
может принимать дискретный ряд значений {Еп}, то гиббсовское состояние
является смесью чистых состояний с определенными значениями энергии,
причем вес состояния, отвечающего значению Еп, пропорционален ё~в*1кТ'
Здесь Т - физический параметр, имеющий смысл температуры, k - коэффициент
пропорциональности (постоянная Больцмана). В статистической физике
показывается, что гиббсовское состояние - это равновесное состояние, к
которому приходит объект в результате неограниченно долгого
взаимодействия с бесконечной средой (термостатом), поддерживаемой при
постоянной температуре Т. Учитывая, что для гармонического осциллятора Еп
"=
гиббсовским для гармонического осциллятора с частотой со
2я оо
00
г"?±!
N
00
(1.4)
00
1 У [ N \п
N+ 1 Zi П \N-f 1/ '
получаем, что состояние (1.3) является
$ 1! КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 231
при температуре Т, если положить
firm -
Принято говорить, что состояние (1.3) описывает "тепловой шум" квантового
осциллятора, находящегося в состоянии теплового равновесия с термостатом
при температуре Т. Средние значения канонических наблюдаемых в этом
состоянии равны нулю, так как гауссовское распределение в (1.3) имеет
нулевое среднее.
Предположим, что осциллятор, находящийся в состоянии теплового
равновесия, подвергается внешнему воздействию, описываемому оператором W-
, где <2 - "комплексная амплитуда" воздействия (см. § III. 11). Тогда его
состоянием будет
S-^W-SWl (1.5)
Учитывая (III.11.1), получаем
о-6)
так что канонические наблюдаемые принимают ненулевые значения, зависящие
от амплитуды воздействия а (именно,
Es(Q) = ]/f Rea, Es{P)^Y^lma).
Состояния (1.6) и их многомерные аналоги используются в квантовой оптике
для описания излучения оптических квантовых генераторов (лазеров).
Известно, что электромагнитное поле математически эквивалентно
бесконечному набору осцилляторов. Для наших целей можно ограничиться
конечным набором осцилляторов с частотами азу; / = 1, ..., s. Пусть Р],
Qj\ / = 1, ..., s -канонические наблюдаемые такого "поля излучения".
Тогда "фоновое" тепловое излучение в отсутствие внешних источников
описывается оператором плотности
S = (r)S</>, (1.7)
/
где SW - гиббсовское состояние (1.3) /-го осциллятора со средним числом
квантов Nj = (enaHkT - I)-1. Воздействие источника на поле, находящееся в
состоянии S, приводит к изменению состояния излучения. Если при-
232
ГАУССОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. V
нять простейшую модель воздействия (1.5), то результирующее состояние
излучения будет определяться оператором плотности
S5-(r)S(A (1.8)
/ 1
где S^] - состояния вида (1.6) для /-го осциллятора. /
________________________
Многомерный параметр а = [йу] характеризует источник
излучения. Подобная модель применяется для описания
излучения лазерного источника.
Состояния типа (1.7), (1.8) обладают привлекательными аналитическими
свойствами, представляющими интерес как для физических моделей, так и
чисто в математическом плане. Поскольку все эти свойства в конечном счете
обусловлены "гауссовостью" состояния, нам будет удобно принять более
общую точку зрения и отвлечься от конкретного вида состояний излучения
