Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 74

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 103 >> Следующая

этой задачи также дается измерением вида (11.12).
ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРА СДВИГА НА ПРЯМОЙ
223
Рассмотрим, наконец, представляющий наибольший интерес случай
квадратичной функции отклонения
W (х - х) = (х - х)2.
Достаточно рассматривать только измерения с конечным вторым моментом, для
которых величина
ef о {М} = § x2pg (dx)
конечна. Как известно из теории вероятностей, конечность второго момента
эквивалентна существованию второй производной характеристической функции
в нуле, причем
5 х2р" (dx) = - ^ (X) U = - Re (X) k.
•о-
Предположим, что исходное состояние таково, что функция 1%1х" ЯеЛ,
дифференцируема,
2 dX <С оо,
и % = 0 на краях интервала Л (если интервал бесконечный, то это условие
считается выполняющимся автоматически). Это означает, что, продолжая
||%lk нулем вне интервала Л, мы получаем дифференцируемую функцию на всей
прямой.
Тогда для измерения (11.12) характеристическая функция Ф* (X) дважды
дифференцируема в нуле, причем
2 dX
Ф* (A.) k-o = ^ 5 I! % Ik 1 %-к k-Х dfi = - | ~ II % Ik
Л Л
Рассмотрим функции ИеФф(Л) и Ф* (X). Они связаны неравенством ReФ^ (X) "5
Ф* (X), дважды дифференцируемы в нуле, и Re(r)(Jf(0) = Ф* (0). Отсюда
следует, что ^ф* (Ц к-оЗэ^ИеФф (X)к-о" так что
Таким образом, измерение (11.12) имеет наименьшее среднеквадратичное
отклонение в классе всех ковариантных измерений параметра сдвига х.
Не ограничивая общности, мы можем считать измерения несмещенными. Тогда
из полученного результата
224
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
вытекает достижимая граница для Дисперсии ковариантного измерения
D{M}^ J|^|!%k|2dA. (11.14)
A
В качестве первого примера рассмотрим измерения параметра координаты в
случае одной степени свободы. В этом случае роль оператора А играет
оператор импульса Р, который диагонализируется в импульсном представлении
ОО
4> = $(4)]; №i2= $
- оо
= (Т))].
Таким образом, пространство аУГ - Хг(-оо, оо) разлагается в непрерывную
сумму одномерных пространств <Ж в этом случае Л = (-оо, оо).
Оптимальное измерение параметра х в семействе состояний
Sje=*e-,/>*|4>o)(4'ol*">J'" - оо<*<оо,
дается ортогональным разложением единицы
Mm(dx)^[y^w-^)X]dJLt (11.16)
где = tpo (ti)/| Фо ("П) I- Ему соответствует существенно
самосопряженный оператор
f (<**)-[vr/^Yn]-
Соотношение (11.15) является "ядерной" записью формулы типа (II.4.9):
(tJ) | М * (dx) 40 = [ J J ф (ri) 4> (т|') YnYrr^(Т1' " ч)' dr\ rfrj'J ~.
Если "фо (^l)0" то ^bsI и мы получаем разложение единицы вида (II.4.9),
отвечающее канонической наблю-
п ¦ d
даемои координаты v = в импульсном представлении. Оптимальное измерение
отличается от канонического мно-
КОММЕНТАРИИ
225
жителями учитывающими априорную информацию об исходном состоянии.
Рассмотрим теперь измерения параметра времени t в семействе состояний
St = е~iEt | ф0) (ф0 ! е'Е'г -оо < t < оо.
Оператор энергии Е ограничен снизу; мы примем, что он имеет непрерывный
спектр, лежащий на положительной полупрямой Л = (0, оо). Точнее, мы
предполагаем, что пространство разлагается в непрерывную сумму
= $ 0s5rEde, о
так что Е действует в как оператор умножения на е: ?ф = [еф8].
Оптимальное измерение параметра t дается неортогональным разложением
единицы
м< B,]s (r)(I 6 щ *¦
которому отвечает симметричный оператор
Если dim о?Г8 = const и пространства сЖй каким-то образом
отождествляются, то можно ввести "каноническое измерение"
М (Л) = <*'-*>4^0....
которому отвечает симметричный оператор Г = i^. Таким образом, мы вновь
приходим к конструкции § III.9.
Комментарии к гл. IV
§ 1. Теории непрерывных групп посвящена книга Понтрягина [82]. Подробное
изложение теории компактных параметрических групп и их представлений,
адресованное как математикам, так и физикам, дается в книге Желобенко
[42]. Общей теории представлений посвя-' щена книга Кириллова [48].
220
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
Понятие ковариантного измерения является обобщением на неортогональные
разложения единицы важного понятия системы импримитивности, введенного
Меррэем и фон Нейманом и подробно изученного Мякки [64]. Изложение
результатов Макки с приложениями к квантовой теории можно найти у
Варадарайана [23] и Я уха [134]. Ковариантные измерения возникают также
из "ковариантных инструментов", рассмотренных Дэвисом [38].
В работе Бауэра [7] доказана теорема: пусть 3)1 - выпуклое компактное
подмножество отделимого локально выпуклого пространства и f -
полунепрерывный снизу аффинный функционал на Ш1. Тогда / достигает
минимума в крайней точке 2)1. Относительно применений этой теоремы в
вопросах существования оптимального квантового измерения см. Холево
[122].
§ 2. По поводу инвариантного интегрирования и соотношений ортогональности
см. Понтрягин [82], Кириллов [48], Варадарайан [23]. Описание
ковариантных измерений получено в работах автора [115], [122], [125] (см.
также Дэвис [38]).
Относительно теоремы Радона - Никодима и интеграла Бохнера см., например,
Данфорд и Шварц [36]. Тот факт, что ^ {М} = = gxDx {Al}+gvDv {М}
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed