Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
меры отклонения в достаточно широком классе функций.
Доказательство. Согласно замечанию после теоремы 3.1 достаточно искать
минимум среднего отклонения е??0{М) среди ковариантных измерений.
Используя (6.2), имеем
оо 2л
e^0{M} = w0-2 coskq> 2 ^'-(tm))Ффт^тртт,|?.
k I 0 m, m'
Рассмотрим коэффициент при w&
2 я
^ COS k<p ^ ^фт'фтРтт' 2^ = ~2" 2 фтРтт'Фт'-
0 m, m' m, m
\m - m'\*=k
В силу положительной определенности j ртт> | ^
VРттРт'т' = 1. ТЭК ЧТО
~2 ^ фтРтт'Фт'^"2" ^ I 'Рт | ( 'Фт' 1" (6-7)
т, тт, т |т - т'| = ? |т - т' | = А
причем равенство достигается при ртт> = 'fm-r • т-У--', •
I т m I I Тя' I
Отсюда следует, что е$0{М*} и
ОО
mme%0{M} = w0 - ^ ^ wk 2 (6-8)
* = 1 m.m'l
\т-/п'|"=А
Поскольку значение k не может превышать размерности пространства, ряд в
правой части фактически содержит конечное число членов и сходится для
любых wb.
"УГОЛ - угловой момент"
205
min s^0 {М} = 2
Это замечание позволяет распространить доказательство теоремы на
обобщенные функции отклонения, удовлетворяющие условию 0. Таким образом,
(6.4) является измерением максимального правдоподобия.
Для функции отклонения W (<р) = 4 sin* у из (6.8) получаем
1 - 2 I4>m 11 Фт-1
т = - 1+ 1
Н'Ы2 + !'Ы2+ t (I Фт I I Фт-1 ()*• (6-9)
т=-/+1
Мы вновь убеждаемся, что понятие "наиболее точного" (оптимального)
измерения зависит от исходного состояния S, т. е, от априорной
информации; всякое измерение вида (6.4) является оптимальным для
соответствующего начального состояния S. В частности, если ф/,,^0, то
Ф"/| фт I = 1 и оптимальное измерение определяется соотношением
(m|M(d9)|m') = e,<m'-m>i'g. (6.10)
Мы будем называть это каноническим измерением угла поворота. Отметим, что
это определение относится к фиксированному базису {|т)}; в новом базисе
\т)' = уш|т) измерение (6.4) имеет каноническую форму (6.10).
§ 7. Соотношение неопределенностей
"угол - угловой момент"
В § 111.2 было установлено общее неравенство
De{M}D9(.4)s4|^E9{M}|\ (7.1)
ограничивающее дисперсию измерения параметра сдвига 6 в семействе
состояний
Se = eiAeSe~(Ae.
С помощью этого неравенства мы получили соотношения неопределенностей для
несмещенных измерений параметров координаты х и времени i. Угол ф
является пара-
206
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
метром сдвига в семействе (6.1), и поэтому можно ожидать наличия
соотношения, ограничивающего "неопределенность" угла ф через
неопределенность углового момента D (J). Однако то обстоятельство, что
естественной областью определения угла ф является не вся прямая R, а
группа сдвигов Т интервала [0, 2я) по модулю 2я, вносит существенные
изменения в трактовку неравенства
(7.1), которые заставляют искать другой путь для установления соотношения
неопределенностей "угол - угловой момент".
В самом деле, значения угла ф = 0 и ф = 2л следует рассматривать как
совпадающие, а значения ф"=*0 и фя" "=;2я - как "близкие". С точки зрения
естественного определения "близости" множество 0 следует представлять
себе не как интервал [0, 2л), а как единичную окружность Т-В связи с этим
возникает вопрос - как задать меру "неопределенности" случайной величины
ф, принимающей зна-
2л
чения в Т? Обычная дисперсия D (ф) = {j (ф - Е (ф))2 Р (с(ф)
о
в данном случае не подходит; так, симметричное относительно точки ф = я
распределение Р, сосредоточенное на краях интервала [0, 2я), будет иметь
дисперсию *="л2, тогда как всякая разумная мера неопределенности такого
распределения должна быть близка к нулю.
Рассмотрим комплексную величину е'ф, пробегающую единичную окружность. Ее
дисперсия равна
2л
D (е"'ф) =5 | е'ф - Е (е,ф) |2 Р (dcp) = 1 - | Е (е''ф) |2,
0
2Л
где E(e'4') = {j ei<s>P (dy), а Р (сйр) - распределение угла ф. о
Введем следующую меру неопределенности распределения угла ф:
Д (ф) = = | Е (е'ф) 1~а - 1. (7.2)
| Е (е'Ф) v
Заметим, что Д (ф) = оо для равномерного распределения на [0, 2л) и Д (ф)
= 0 для вырожденных распределений; величина | Е (е'ф) | равна расстоянию
от центра единичной
"УГОЛ - угловой момент"
807
окружности, на которой сосредоточено распределение е'ф, до
геометрического центра масс этого распределения.
Другое обстоятельство, побуждающее отказаться от использования
неравенства (7.1), связано с тем, что понятие несмещенности для
измерений, принимающих значения в Т, уже не может играть прежней роли; в
частности, из ковариантности измерения уже не следует его несмещенность.
Пусть р,ф(йф) -распределение вероятностейковариантного измерения M =
относительно сестоя-
ния Sy. Предполагая для простоты, что это распределение имеет плотность
pv(ф), из условия ковариантности получаем
Рф (Ф) = Ро ((Ф ~ Ф) (mod 2я)).
Используя это соотношение, получаем
[2л
я - 2я $ р0 (ф) йф ,
2л -ф
так что - ?ф {М} = 1 + 2яр0 (2я - ср) Ф 1. Конечно, мы
можем подставить это в неравенство (7.1) и получить некоторую границу для
дисперсий ковариантных измерений, содержащую, кроме дисперсий, функцию р0
(2я - <р), однако это вряд ли можно считать аналогом соотношения
