Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
197
Так как представление g-*-Vg неприводимо, то согласно предложению 2.2
всякое ковариантное измерение имеет вид
М (dn) = (2/ -f 1) VgS0V%v(dn) (n = gn0),
где S0 -оператор плотности, коммутирующий с V g\ ge Go-Подгруппа G0
состоит из вращений вокруг оси п0, так что S0 имеет диагональную матрицу
в базе {|яг)}.
Согласно предложению 3.1, чтобы решить задачу оптимального измерения
параметра п е S2> следует найти минимальное собственное значение и
соответствующий собственный вектор оператора апостериорного отклонения
#0 = 2 S[l-n0-№]^V№),
о
где р (dg) - нормированная инвариантная мера на группе вращений. Как
показано далее, для любого состояния 5
(5'2)
где J0 - оператор углового момента вокруг оси п0 (для сокращения
обозначений мы полагаем fl - 1). Тем самым минимальное собственное
значение оператора #0 равно 2 (1 - | /" [/(/ + 1)), где /0 = Тг 5 J0, а
соответствующий собственный вектор есть | /) или | - j), в зависимости от
того, J0~>0 или J0<zO. Таким образом, мы доказали Предложение 5.1.
Ковариантное измерение
М, (dn) = (2/ + 1) Vg | ± j) (± j | Vfv (dn) (n = gn0)
является байесовским и минимаксным измерением направления п оси симметрии
для функции отклонения (5.1), причем знак выбирается в соответствии со
знаком среднего углового момента /0 = Es (J0). Минимум средней ошибки
равен 2 [1 - | /01/(/ + 1)] ^ 2/(/ + 1).
Простое угадывание, которому соответствует разложение единицы М* (dn) = 1
-v (dn), дает среднее отклонение {Л1*} = Тг #0 = 2, так что
сЯ\М,} |7"|
т м**> 7+т-
198
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
Выигрыш от применения оптимального измерения тем больше, чем больше
отношение | У0 |/(/+1). и равен нулю, если данное состояние имеет нулевой
средний момент
Заметим, что байесовское измерение совпадает с измерением максимального
правдоподобия, лишь если вектор |±/) является собственным вектором S с
максимальным собственным значением.
Рассмотрим теперь задачу определения ориентации микрообъекта, не
предполагая симметрии исходного состояния. Ориентация установки
однозначно описывается репером 0 = {л,, я2, я3} в R3. Фиксируем начальный
репер 0q = {л$, п\, п\\. Вращение g однозначно определяется репером 0 =
g-0o, в который оно переводит начальный репер 0". Поэтому множество всех
реперов g можно отождествить с группой вращений G. Определим отклонение
репера 0 = {/*,, я2, га3} от репера 0 формулой
Рассмотрим оператор апостериорного отклонения
где У, -оператор углового момента вокруг оси я,-, J{ =
оператором углового момента вокруг оси п = а1е1 + "2*2 + + а3е3; его
максимальное собственное значение равно /. Обозначим через | л)
соответствующий собственный вектор.
з
3
(в) = 2 I п, - т |2 = 2 2 П ~ п, ¦ hi\. (5.3)
1= 1
3
= 2 2 S [1 - п] • ёпЦ V*eSVglL (dg).
i = 1
Воспользовавшись формулой (5.2), имеем
з
Оператор ^ aiJt является
ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ
199
Предложение 5.2. Ковариантное измерение
M*(dB) = (2j+l)Vg\j; л) (л; /|VJv(d0) (6 =g0o)
является байесовским и минимаксным измерением ориентации 6 = {лх, л.,,
л3} для функции отклонения (5.3). Мини-
Выигрыш от применения оптимального измерения опре^ деляется величиной
и имеет тот же характер зависимости от параметров, что и в предыдущей
задаче.
Для доказательства формулы (5.2) вычислим матричные элементы оператора Wc
в базисе (|т)}. Для этого нам понадобятся матричные элементы операторов
представления. Пусть 0 si 0 si я, 0=$ф-< < 2я, 0 sg. ф < 2я - углы
Эйлера, задающие вращение g. Нормированная мера задается в этих
параметрах соотношением р.(dg)** - (8я2)~1 d cos 0 йф dtp. Имеем (см.
комментарии)
где Р(r)15 -многочлены Якоби, а = |я - т\, (1 = |я+т|, *
= / -
мум среднего отклонения равен 2 3 -
/
2 Л/(!+1) •
3
_ . _ 1 ________
е%{М*} 3' /+1
(п\Ув\т) = е-^-'^р1тп (cos в),
p-L (о=к (1 -tp2 (1 +oP/a Pf (0.
2
(а + Р), К = const. Выполняя интегрирование по <р и ф и за^
мечая, что 1- n0-gn0=\-созб, получаем
"=-/ -Tl
Остается вычислить интеграл
\ (\-~t)\pimn(t)\2dt = K2 j (1-0"+1(1+0Р|Р?|1(0|,Л>
-1
-1
где константа К определяется условием нормировки /C2j(l-/)а X
200
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
ния для многочленов Якоби, получаем
(1 - о (о = [i + (о+1 (о+BPft, (о.
где А и В - некоторые постоянные. Так как многочлены
= 0, 1, ...}• образуют ортогональную систему на интервале (-1, 1) с весом
(1-()" (1+()Р, то в силу условия нормировки искомый интеграл равен
коэффициенту при в предыдущей формуле, умноженному ка 2/(2/+1), т. е.
2/ + 1
Отсюда
г аа-р" 1 2 Г пт 1
L 4/ (/ + 1) J 2/+1 L i (/+ 1) J"
^о= 2 I m) (m ' ^"1 m'Xm' ! =
m, m'
r i I
= 2/^1 i~j[j~fT) 2 2
L " = - / m = -/
Учитывая тот факт, что J0 = E n \ n) (n |, получаем (5.2).
§ 6. Измерение угла поворота в случае спиновых степеней свободы
В предыдущих двух параграфах рассматриваемые представления группы
симметрий были неприводимыми, что позволило использовать результаты из §§
2, 3, дающие полное описание ковариантных измерений и решение байесовской
и минимаксной задач. Теперь мы переходим к рассмотрению серии примеров, в
