Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
-ядерный (ср. § II.7); для эрмитова ядерного оператора А = ^ Ki I ^ СФ7'
I" очевидно,
/
А (Я, Я') = Д] к/ ) ф()(ф[, ]. Здесь ф/=[ф[], так что А7 (Я, Я') =
= | Ф() (Ф[<; есть оператор из , в действующий
по формуле
А7 (Я, Я')фл = ф((ф(,|фя,)л,.
Однако мы будем пользоваться формальным соответствием между операторами и
ядрами и в тех случаях, когда А не является ядерным; например, единичному
оператору будем сопоставлять ядро [б (Я - Я') /я], где /*, - единичный
оператор в еЗГ*,-
Положительным операторам А соответствуют положительно определенные ядра
J J (% | А (Я, Я') фя-)я dA е(Я' SsO; ф = [фя]- (П-6)
Подставляя вместо % выражение /(Я)%, где / (^ - произвольная скалярная
функция, получаем, что (11.6) выполняется тогда и только тогда, когда для
любого Ф = [%] скалярное ядро (фя|А(А, А')фя')х является положительно
определенным. Отсюда следует, что для поло-
220
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[Г Л IV
жительно определенного ядра [/С (Я, Я')] выполняется
I (Фх IК (Я, Я')фх')х|2=^
<=(Фх|Я(Я, Я) %к • (ifv | К (Я', Я')ф*/к/ (11-7)
для почти всех Я, Я' е Л.
Приведем непрерывный аналог теоремы 10.1, дающий общий вид измерения,
ковариантного относительно представления (11.1) группы сдвигов:
M(dx) = [K(Я, Я')е*"*-'-*¦>*]2^, (П.8)
где [К (Я, Я')] - положительно определенное ядро, удовлетворяющее условию
К (Я, Я) = Ik. Формально легко проверяется, что (11.8) действительно
является разложением единицы: M(dx)^ 0 в силу положительной
определенности ядра [К (Я, Я') е1^'~Мх], и jj М (dx) ==[б (Я - Я') I{ =
I-Пусть S = | if) (if j, где if = [if*,], - чистое состояние.
СО
Обозначая через Ф(tm) (Я) = J еЛх (if j М (dx) if) характери-
- СО
стическую функцию распределения вероятностей результатов измерения М
относительно состояния S, получаем, интегрируя (11.8),
Ф(Г (Я) = I (фц | К (ц, ц - Я) фц_х) dp,. (11.9)
Интеграл сходится, поскольку, в силу (11.7) и условия К (Я, Я) = /^,
I (% I К (Ц, Ц - Я) lfn-х) | ^ II ifn ! lfn-Х Рц-А (11.10)
и обе функции в правой части квадратично-интегрируемы. Если дополнительно
предположить, что
$1ФхМЯ<оо, (11.11)
Л
то характеристическая функция оказывается интегрируемой и тогда
распределение вероятностей измерения имеет плотность
^ '^<(ЯМЯ =
= 2^ J I (Фх|Я(Я, Я')ifx')е*-*¦>*dXdk*.
ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРА СДВИГА НА ПРЯМОЙ
221
Это согласуется с выражением для М (dx)/dx, которое формально получается
непосредственно из (11.8).
Рассмотрим случай, когда dirnd^T к = const. Пусть {U (А., А.')}-
согласованное семейство изометрических
отображений на А', АеЛ. Тогда [Ь (А, А')]
является ядром, определяющим ковариантное измерение. Отождествляя между
собой пространства получаем "каноническое измерение"
M(dx) = [hel(v-u*]^.
Обратимся теперь к проблеме оценивания параметра сдвига х в ковариантном
семействе состояний
Sx = e~iAxSeiAx, -оо <x"<oo.
Так как группа G = R некомпактна, то мы уже не можем применить теорему
3.1. Более того, байесовская мера точности с "равномерным распределением"
dx вообще не определена. Можно было бы доказать аналог теоремы 3.1 для
минимаксного критерия, однако мы огра ничимся рассмотрением минимума
среднего отклонения
00
е%х{М} = ^ W (х- x)ii% (dx)
- со х
в классе ковариантных измерений. В силу ковариантности, эта величина
фактически не зависит от х, вак что нужно минимизировать
<&0{М}= \ W(x)^(dx).
- 00
Мы предположим, что функция отклонения является вещественной непрерывной
отрицательно определенной функцией, т. е. имеет вид
W (*) = - $ e'k*W (dX),
жительная симметричн эвариантного измерение
e^#{M} = - (A) W [d.X).
где W (dX) - положительная симметричная мера на прямой. Тогда для
ковариантного измерения (11.8) имеем
222
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
В силу неравенства (11.10)
Re Ф(Г (Я) ^ Ф* (Я) а J || % |1ц IV, IU Ф.
так что
$ $ || фц V I! %-х lli-я, dpW т = а^о {М0},
где
Мп (dxl - & (X' - X) *1 -
Как и в дискретном случае, мера М0 (dx), вообще говоря, не является
разложением единицы, так как J М0 (dx) = Е0 Ф /0 (равенство будет лишь в
случае dim s 1), но ее можно продолжить до разложения единицы, добавляя
произвольное разложение единицы в ортогональном дополнении пространства
Е0 (e/f'):
М* (dx) = М0 (dx) (r) ... (11.12)
В частности, мы будем использовать продолжение М* (dx) =
"1ЛЗ)
где б (х) dx - скалярная мера, сосредоточенная в нуле.
Таким образом, измерения вида (11.12) (в частности, измерение (11.13))
являются оптимальными для любой функции отклонения указанного выше вида.
Рассмотрим теперь метод максимального правдоподобия. Предположим, что
исходное состояние удовлетворяет условию (11.11), так что
характеристическая функция Ф^ (Я) интегрируема и существует непрерывная
плотность р"(х). Формальная байесовская мера точности с функцией
отклонения W (х) = - б (х) и априорным распределением л (dx) - dx имеет
вид
_ р* (0) = - J Ф^ (Я) с?Я = - (фя | К (Я, Я') ф^) dXdX';
она должна быть минимизирована по всем положительно определенным ядрам [К
(Я, Я')], удовлетворяющим условию К (Я, Я) = 1Х- Очевидно, что решение
