Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
почти всюду. Из (10.4) вытекает, что ртт (ф) = s/т; из того, что М(В)^0,
следует [ртт'(ф)]5з0 почти всюду. Из ковариантности измерения вытекает,
что
Ртт' (<р) = е'(т'-"'^Ртт'(0).
Полагая Ктт' = Ртт1 ((r))> получаем утверждение теоремы.
$ Тг ег tA<fSetA4lM (В) d<p =¦ mes В,
о
Тгт8тМтт (В) - (2я)-1 тез В,
Мтт (5) = /,
. mes В т 2я
(10.4)
| (Фт | Мтт' (В) фт') I ^ II Фт IIII Фт' Ц;
216
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
Рассмотрим теперь задачу оценивания параметра сдвига (поворота) ф в
семействе состояний
= 0<ф<2я, (10.5)
где S**|ty) (ф|, ф = [фт], - чистое состояние. Пусть функция отклонения W
(ф - ф) непрерывна и удовлетввряет условию (6.5); тогда
ОО ОО
W (ф) = w0 - 2 (r)>k cos fepa 2 vkell"r,
h *= 1 k = - oo
где |o*|<oo, при кф 0. Рассуждая как при
доказательстве теоремы 6.1, имеем
<3^0 {^} = Vm - m' (Фот | Ктт' фт') >
т, т'
2 Vm-т' II Фт II1 Фт< I'
т, т'
причем равенство достигается при
Ктт' FUhM" ( 6)
Аналогичные рассуждения проходят и для функции отклонения Н7(ф - ф) = - 6
((ф - ф) (mod 2л)) [vm j > если предположить, что ^ 1Фт1<°°-
т
Положительная операторнозначная мера, отвечающая ядру (10.6),
Мп (dm) ¦= - - ^w' L & <">' - m> v f?
MolV) |ФЯ||Ф"'Г &
не является измерением, если dim аКГт > 1 для некоторого т, так как тогда
ФI.
Оператор Е0 является проектором на подпространство, порожденное
компонентами фт начального вектора ф.
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРА ПОВОРОТА
217
В силу этого мера М0 (dcp) может быть продолжена до разложения единицы в
(без изменения величины меры точности) по формуле
М* (dcp) = М0 (dcp)(r)M1 (dcp), (10.7)
где (d<p) - произвольное разложение единицы в ортогональном дополнении к
Е0(о%Г). Добавок Mr(dcp) никак не проявляется в статистике измерения
относительно исходного семейства состояний (10.5), поскольку оно
сосредоточено на подпространстве Е0(<Ж). Можно положить, например,
Mj (dcp) = (I - Е0) [х (^ф),
где р, - произвольное распределение вероятностей. Конечно, M# будет
ковариантно лишь, если ковариантно Мх.
Если dim e%Tm = const, то пространства еЖт изоморфны между собой. Пусть
{Umm>} - согласованная система изометрических отображений Q%Tm' на етак
moUmm-\m и Umm-Um'm" = Umm". Ядро [Umm'] удовлетворяет условиям теоремы
10.1. Рассмотрим соответствующее измерение
M(dcp) = [Umm,e'(m'~m^]^.
Считая, что отображение Етт> "отождествляет" пространства (Жт' и <3Fm,
получаем "каноническое" измерение
М (^ф) - \\mei(m'~m) ф]^~- (Ю.8)
Конечно, оно зависит от способа отождествления пространств {?йГт}.
Измерение (10.8) будет оптимальным для данного семейства состояний
(10.5), если (фт | Umm'^pm>) = (фт | фт') = = II Фт IIII фт-1> Т- е- если
при данном способе отождествления все компоненты фт исходного вектора ф
коллинеарны,
более того, ф = ате, где ат 0, а е - фиксированный
т
вектор 'из яЖ'т.
218
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
§ 11. Ковариантные измерения параметра сдвига на прямой
Наиболее важными примерами параметров сдвига на всей прямой являются
координата х и время t. Мы рассмотрим ковариантные измерения параметра
сдвига сначала с общей точки зрения.
Рассмотрим произвольное проективное унитарное представление группы
сдвигов R. Согласно предложению III.2.1, оно всегда сводится к унитарному
представлению
х^е-'Лх, (11.1)
где Л- самосопряженный оператор в е%С В общем случае спектральная теорема
фон Неймана позволяет утверждать, что А может быть реализован как
оператор умножения на независимую переменную в непрерывной сумме
гильбертовых пространств. Мы дадим описание этой конструкции в частном
случае, когда оператор А "имеет спектральный тип dh>. Как и все
содержание этого параграфа, построение будет носить формальный характер,
так как строгое обоснование заняло бы слишком много места. Полезно
рассматривать результаты этого параграфа как непрерывный аналог
результатов § 10, когда расстояние между собственными значениями
оператора А стремится к нулю и они непрерывно заполняют некоторый
интервал А вещественной прямой.
Пусть для почти любого 1еЛ задано гильбертово пространство а/Г>, со
скалярным произведением (-|-)* и нормой |( % Hi = (фг, | г])*.)*,; ф*. (=
е5Г*. Непрерывной суммой пространств sЖ k относительно меры dX
(11.2)
л
называется пространство, состоящее из функций ф = Гф*], где ф*е<а%^*,
таких, что
1Ж2= $ II Фа. II dJt < оо. (11.3)
Л
Скалярное произведение в определяется формулой
(<Р i Ф) = S ^ д
(П.4)
§ И) ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРА СДВИГА НА ПРЯМОЙ
Таким образом, мы предполагаем, что наше пространство еЗГ разлагается в
непрерывную сумму (11.2), а оператор А действует в off как оператор
умножения на Я:
Лгр = [Алря,], если 'ф = [ард.1-
Отсюда следует, что eiAxty = Формулы (11.2) - (11.3)
являются непрерывным аналогом соотношений
(10.2)-(10.3).
Мы будем рассматривать операторы А в задаваемые ядрами [А'(Я, Я')], где А
(Я, Я') -оператор из в по формуле
Аф = ^А(Я, Я')%'^Я'| (11.5)
Этому соответствию можно придать непосредственный смысл, если оператор А
