Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
"наиболее точное" измерение -в значительной мере не зависит от
конкретного выбора функции 1F0(0), определяющей точность измерения.
Среднее отклонение результатов измерения М = = {Mf(d0)} при условии, что
истинным значением является 0, равно
<^e{M} = $flM0)pSe(d0), (3.2)
где p-s0 (dQ) = Tr 50Mf (dQ) - распределение вероятностей измерения М
относительно состояния 50. Желая найти наилучшее измерение параметра 0,
следовало бы потребовать, чтобы М минимизировало среднее отклонение (3.2)
при всех возможных значениях 0е0. Однако из математической статистики
хорошо известно, что подобное требование обычно невыполнимо: то, что
хорошо для одних значений 0, будет плохо для других. Чтобы ввести
разумное понятие оптимальности, следует пойти на ком-
S3]
ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЙ
187
промисс и образовать некоторый функционал от величин е^0{Л1}, 8е9,
который служил бы "интегральной" мерой точности.
Следуя классической теории оценивания, можно предложить два разных
функционала.
При байесовском подходе берется среднее величин {е^0{Л1}} по некоторому
априорному распределению л (с/0). Измерение, минимизирующее эту меру
точности:
называется байесовским. Величина е%П{М} дает среднюю ошибку в ситуации,
когда 0 является случайным параметром с известным распределением л(йЬ). В
частности, если 0 компактно и о 0 "заранее ничего не известно", то в
качестве л (d8) принято брать "равномерное распределение" на 0, т. е.
нормированную инвариантную меру v (d0).
При минимаксном подходе берется максимальное отклонение
{M} =max s%e {М}. е
Минимизирующее его измерение называется минимаксным. Измерение, на
котором достигается минимум той или иной меры точности, мы будем называть
также оптимальным.
Ограничившись здесь случаем компактной группы, мы покажем, что для
ковариантного семейства состояний как байесовская, так и минимаксная меры
точности достигают минимума на ковариантном измерении. Этот факт является
некоммутативным аналогом известной теоремы Ханта - Стейна в
математической статистике.
Среднее отклонение, а значит, и байесовская мера точности являются
аффинными функционалами на выпуклом множестве всех (c)-измерений 9Л (0). В
случае компактного 0 и непрерывной функции отклонения Wq(%) выполнены
условия, при которых байесовская мера точности достигает минимума в
крайней точке множества ЭЛ (0). Доказательство этого утверждения, а также
подробное рассмотрение вопросов интегрируемости мы здесь проводить не
будем (см. комментарии).
Теорема 3.1. Минимум байесовской меры точности
{М} с инвариантным априорным распределением и минимаксной меры точности
{М} по всем 0-измерениям
188
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
достигается на множестве ковариантных измерений. Для ковариантного
измерения Ж среднее отклонение <М§ {Ж} не зависит от 0, так что
effv{M}=a#{M}"effe{Al}. (3.3)
Доказательство. Введем измерение Жг = = {Мг (dS)}, полагая
Mg (В) = V*gM (Bg) Vg, Be^ (0),
и заметим, что измерение Ж ковариантно тогда и только тогда, когда Жг =
Ж, g^G. Из ковариантности семейства {Se} и инвариантности функции
отклонения (0) получаем
^е{Жг} = е^е{Ж}. (3.4)
В частности, для ковариантного измерения е^е{М} не зависит от 0, так что
выполняется (3.3). Рассмотрим байесовскую меру точности
Используя (3.4), получаем s^v{М} ==e%'v{Мг}.
Введем "усредненное" измерение Ж, полагая
М(В) = ] Mg-! (В) р (dg).
О
(В конечномерном случае определение этого интеграла очевидно.) Так как
{М} - аффинный функционал измерения, ТО ^ 1} Р {Ж} и
шахеЯ'е {М} {M} = a5?v{^}- Но усредненное измере-
е
ние, очевидно, ковариантно, так что
e^v {Ж} == е^е {Ж} = шах е%е {Ж}.
е
Таким образом, для любого измерения Ж мы построили ковариантное измерение
Ж с тем же значением байесовской меры точности и с, возможно, меньшим
значением минимаксной меры. Поэтому минимум этих функционалов достигается
на ковариантном измерении.
§ 3] ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЙ 189
Теорема 3.1 сводит проблему оптимального измерения к минимизации среднего
отклонения
по всем ковариантным измерениям. Рассмотрим этот вопрос, предполагая, что
dim вЙГ < оо. Тогда мы находимся в условиях теоремы 2.1 и a?F9o{M} можно
переписать в виде
^е0 {М} = ^ П79о (0) Tr 7fS W (d0) = Tr W0P0,
где
(6) V*8SVgv (dS) = ^ 1P9o (gfl0) ViSVgli (dg) (3.5) 0 о
- оператор, коммутирующий с {Vg\ jgG0). Основываясь на аналогиях с
классической статистикой, можно назвать W0 оператором апостериорного
отклонения. Таким образом, необходимо найти
minTr#0P0 (3.6)
по всем эрмитовым операторам Р0 из множества ф (см. § 2) или же по
крайним точкам этого множества.
Эта задача имеет простое решение в случае неприводимого представления,
когда $ состоит из операторов, коммутирующих с {Vg\ geG0} и таких, что
Л)3г= 0, ТгР0 = ^-
Обозначим wm\n наименьшее собственное значение оператора Wo, а через Ёт\п
- проектор на соответствующее
А А
инвариантное подпространство. Тогда W0^wmin-l, откуда
Тг W0P0 SsWmm Тг Р0 = ШтЩ d.
Равенство здесь достигается, если
