Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
силу соотношения полноты (10.8), всякий вектор ф разлагается по системе
{|я)|:
1Ф)= 2 I я) (я I Ч>).
п = о
где (я|ф); л = 0, 1, ... , - квадратично-суммируемая последовательность
коэффициентов. Поэтому состояния и наблюдаемые могут быть представлены
бесконечными матрицами, действующими в пространстве I2. Это представление
называется представлением Фока, или "представлением по числам
заполнения". Изометрический переход между
КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР
151
этим представлением и представлением Шредингера задается формулами
где ядро (?|") = (/г||) определяется соотношением (10.7).
В представлении Фока легко строятся самосопряженные расширения операторов
N и Е. Рассмотрим подпространство
а Е определим через N по формуле (10.4). Согласно спектральной теореме
II.4.1, определенные так операторы являются самосопряженными расширениями
исходных операторов, заданных на § (R). Можно показать, что эти
расширения единственны.
Оператор N называется наблюдаемой числа квантов. В представлении Фока он
имеет диагональную форму, так как
Выясним, какой вид имеют в этом представлении канонические наблюдаемые.
Вместо р и q удобнее рассматривать йх линейные комбинации а и а*. Из
определения базиса {| л)} и коммутационного соотношения (10.3) вытекает
Таким образом, оператор а уменьшает, а оператор а* увеличивает "число
квантов" на единицу. В соответствии с этим а называется "оператором
уничтожения", а а* - "оператором рождения" квантов. Естественной
максималь-
(n|4>) = S(nlE)(Sl4>)d6, (Ш = 2(?|л)(л|Ф),
п
и определим на нем оператор N соотношением
СО
N\4)= 2 п\п)(п\Ц),
N\n)=*n\n).
(10.9)
а | п) = У п - 1 | п - 1), а* \ п) - У п +1 | п+1).
152
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
ной областью определения операторов а и а* является подпространство
Рассматриваемые как операторы с этой областью определения, а и а*
являются взаимно сопряженными: (а)* = -а*, (а*)*=а.
Благодаря тому, что гамильтониан Н в представлении Фока диагоналей,
динамика квантового осциллятора в этом представлении описывается особенно
просто. Имеем
Чистые состояния, отвечающие векторам | гг), являются стационарными, так
как зависимость от t входит в них лишь через несущественный фазовый
множитель.
Особенно наглядно динамика квантового осциллятора описывается в терминах
операторов а и а*. Замечая, что & (а) является инвариантным
подпространством Vt, положим
Формулы, определяющие операторы а, а* через р и q, аналогичны формулам,
определяющим комплексную амплитуду классического осциллятора через
импульс и координату, а уравнения (10.10) аналогичны уравнениям для
комплексных амплитуд классического осциллятора. Выражая р и q через а и
а* по формулам (справедливым по крайней мере на (c)P'flR))
СО
Vt IФ) *= .2 e~ta </l+1/s) 11п) (п Iф)"
a{t) = VtaVh a(t)* = Vta*Vt.
Тогда прямой подсчет показывает, что
a(/)="e-*ffl<a, a(t)* =e'0><a*. (10.10)
(10.11)
получаем для р (t) = VfpVt, q (t) = VfqVp.
p(t)=p cos ait - aq sin at, q(t) = q cos at ~ sin at,
КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР
153
т. е. соотношения, аналогичные решениям уравнений движения классического
осциллятора *).
Важную роль в теории классического осциллятора играет понятие фазы 0,
которая определяется из соотношения а = |а|е'9, где а -комплексна"}
амплитуда. Рассмотрим вопрос об описании фазы гармонического осциллятора
в квантовой теории. Для операторов рождения-уничтожения имеют место легко
проверяемые формулы**)
a = P\a\, а* = |а|Р*,
где | а| = Уa*a = YN, а операторы Р, Р* определяются соотношениями
Р|0) = 0, Р|л) = |л-1), Р*|л) = |л + 1).
Используя (10.8), можно получить матричное представление
ОО 00
р= 1] |п-1)(л|. Р*=* 2 !")("-! I*
Л=1 Л=1
Операторы Р, Р* являются ограниченными, взаимно сопряженными и
удовлетворяют соотношениям
P*P = I-|0)(0|, РР* = I, [Р, Р*] = |0)(0|,
[Р, N] = P, [Р*, N] = - P*.
ая
Используя соотношение ^ ^ е1 (л~л,) 9 db = 8ПП', можно напи-
0
сать
2Я 2Л
е*М (dQ), Р* = j е~(r)М (d0), (10.12)
о о
где М (d0) - неортогональное разложение единицы, определяемое
символическими матричными элементами
(n\M(dQ)\n')=el<n-n'>e^, (10.13)
*) Способ записи динамических уравнений, при котором во времени меняются
не состояния, а наблюдаемые, называется "картиной (представлением)
Гейзенберга".
**) Эти формулы дают так называемое полярное разложение операторов оно*,
^?4 СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
т. е. (rt! М (В) j гг') = ^ е<(л_п')0^, В с: o/g ([0, 2л)). Пока-в
жем, что М (dQ) можно ассоциировать с измерением параметра фазы
гармонического осциллятора.
Параметр фазы гармонического осциллятора аналогичен параметру времени,
измерения которого рассматривались в предыдущем параграфе, однако энергия
осциллятора
Е = tl(d\N принимает дискретный, а не непрерывный
ряд значений. Рассмотрим семейство состояний
Se = eiNeSe-'Ne, (10.14)
где N - оператор числа квантов. Параметр 0 в семействе (10.14)
естественно назвать параметром фазы осциллятора. Так как собственные
значения оператора N - целые, то eiNQ = efN (f>+ikn), так что
