Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
позволило связать разложение единицы Е (d|) с измерением координаты х,
выражается соотношением (4.3) и называется ковариантностью Е (d|) по
отношению к представлению x-*Vx группы пространственных сдвигов. Всякое
разложение единицы, удовлетворяющее требованию ковариантности, мы вправе
ассоциировать с некоторым, более или менее точным измерением координаты
х. Далее мы увидим, что существует бесконечно много даже ортогональных
разложений единицы (т е. простых измерений), удовлетворяющих требованию
ковариантности (4.3).
канонические наблюдаемые
121
Поэтому соответствие между физическими параметрами и квантовыми
наблюдаемыми (измерениями) далеко не однозначно; одна и та же величина
может быть измерена бесчисленным множеством способов. Тем не менее будет
удобно, как это обычно делается, закрепить названия наблюдаемая
координаты за инфинитезимальным оператором представления v^-Uv и
наблюдаемая скорости*) за оператором Р/р. Операторы Р, Q называются
каноническими наблюдаемыми.
Пусть /И = {М (d|)} - любое измерение, ковариантное по отношению к
представлению группы пространственных сдвигов и имеющее конечный первый
момент относительно состояний Sx. Из (4.4) вытекает
СО СО
Ел: {М} = S 5 (S+*)|As(dg) =
- со - со
- Ео|М}4-эс. (4.6)
Таким образом, с точностью до постоянной, /И является несмещенным
измерением координаты х. Поэтому неравенство (2.8), ограничивающее
точность измерения координаты, справедливо для любого ковариантного
измерения параметра х. В частности, для наблюдаемой координаты Q получаем
Ds(Q)-Ds(P)Ssl/4. (4.7)
Эго неравенство называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. К
нему полностью применима интерпретация, данная в § П.6. В частности, из
него вытекает, что наблюдаемые Q и Р несовместимы, т. е. не существует
процедуры, которая совместно реализовала бы измерения Q и Р. Отсюда,
однако, не следует, что физические параметры - координата сдвига х и
относительная скорость у -в принципе не допускают совместного измерения!
Мы рассмотрим этот вопрос подробно в § 7.
*) Для заряженной частицы оператор скорости имеет несколько другой вид,
однако мы не будем вдаваться в этот вопрос (см., например, Яух [134J),
122
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
[ГЛ. III
§ 5. Теорема единственности.
Представление Шредингера
Каноническое коммутационное соотношение (3.2) и его обобщения играют
фундаментальную роль в квантовой теории.
Всякое конкретное семейство унитарных операторов (.х, v) W х, v в
конкретном гильбертовом пространстве
удовлетворяющее соотношению (3.2), называется представлением
канонического коммутационного соотношения Вейля - Сигала. Имеет место
важный результат, полученный Стоуном и фон Нейманом.
Теорема 5.1. Всякие два непрерывных неприводимых представления (х, и) Wx}
0; / = 1, 2, канонического коммутационного соотношения унитарно
эквивалентны, т. е. Wx! v = U* Wx! vU, где U - изометричный оператор,
отображающий пространство представления (х, v)-*-Wx!v
на пространство г представления (х, v)^*-Wx\'v.
Всякое непрерывное представление канонического коммутационного
соотношения является дискретной прямой суммой неприводимых представлений.
Из этих утверждений вытекает, что всякое непрерывное представление
унитарно эквивалентно представлению вида
7(0>
О
(*, V)
W'i.v
07 L0'
О
где (х, v)-*- Wlx!v - фиксированное неприводимое представление. Таким
образом, каноническое коммутационное соотношение по существу однозначно
описывает кинематику (нерелятивистского) квантового объекта с одной
степенью свободы, для данного значения параметра ц.
Мы докажем эту теорему в гл. V. Согласно ей достаточно построить хотя бы
одно представление канонического коммутационного соотношения. Рассмотрим
пространство -оо, оо) комплексных квадратично-
интегрируемых функций на R = (-оо, оо) и семейство унитарных операторов в
а/Г\ действующих на функцию по формуле
Wx, 4$ (S) = exp (l - j jj ф (| - x). (5.1)
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
123
Легко убедиться, что операторы W х< v удовлетворяют соотношению (3.2) и
что семейство (х, v) ->¦ Wx, v непрерывно. Чтобы установить
неприводимость, рассмотрим однопараметрические подгруппы {Vx}, {Vv},
действующие по
формулам
У*Ф(Б) = Ф(& - X), (5.2)
?/"ф (|) == (?). (5.3)
Пусть 35 с: оЯТ, 35 Ф [0], е2Г, - инвариантное подпространство. Из
того, что 35 является инвариантным подпространством группы {?/"},
следует, что существует подмно-
жество В czR ненулевой лебеговой меры, дополнение к которому также имеет
ненулевую лебегову меру, такое, что носители всех функций из 35
содержатся в В. Однако такое подпространство не может быть инвариантным
подпространством группы сдвигов {Vx}.
Представление (5.1) канонического коммутационного соотношения в 352(-оо,
оо) называется представлением Шредингера. Из формул (5.2), (5.3),
учитывая, что Vx - = ?-'*я, Uzl = ei^vC>, найдем канонические наблюдаемые
в этом представлении
Яф(^) = г1^|ф(?), фе^(Я);
(5.4)
<ЖЕ) = 1Ф(Б). фе<^"2).
Во всяком случае, это заведомо имеет место для функций из пространства
