Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
не существует нетривиального (замкнутого) подпространства, инвариантного
относительно всех операторов Vg. Неприводимые представления являются в
этом смысле минимальными, и при определенных условиях регулярности всякое
представление может быть разложено в дискретную или непрерывную сумму
(интеграл) неприводимых представлений. Условимся считать, что
неприводимое (т. е. неразложимое) представление описывает "элементарный
объект" с данным типом симметрии. Очевидно, что здесь решающую роль
играет определение фундаментальной группы симметрий, которая включает в
себя все фи-
112
СИММЕТРИИ в квантовой механике
[ГЛ. III
зически значимые симметрии. Если в нерелятивистской квантовой механике
эту роль играет полная галилеева группа, то в релятивистской ее заменяет
группа Пуанкаре. Большое место занимают группы симметрий в попытках
классификации элементарных частиц *).
Уравнения для свободных частиц в квантовой механике представляют собой по
существу удобный способ описания неприводимых представлений
соответствующих групп. Последовательный вывод квантовой динамики,
основывающийся на принципе галилеевой относительности, представляет
большой методический интерес, однако он требует привлечения ряда
результатов теории проективных представлений, которые выходят за рамки
настоящей книги. Ограничиваясь достаточно элементарными средствами, мы
рассмотрим подробно лишь простейший случай нерелятивистской частицы в
одном измерении, чтобы показать, каким образом соображения симметрии
позволяют связать с механическими параметрами, такими как координата,
скорость, время, энергия, те или иные квантово-теоретические измерения,
т. е. разложения единицы в гильбертовом пространстве представления.
§ 2. Однопараметрические группы сдвигов.
Соотношение неопределенностей "время-энергия"
Предположим, что установка, приготовляющая квантовое состояние,
сдвигается параллельно себе по оси абсцисс на расстояние х, что
описывается преобразованием ?'=? - х (рис. 8). Тогда, если исходное
состояние объекта описывалось оператором плотности S, новое состояние
будет иметь оператор плотности где
х->- Vx - непрерывное проективное представление группы сдвигов
вещественной прямой. Для таких однопараметрических групп имеет место
*) К сожалению, элементарный объект (по Вигнеру -элементарная система) не
есть то же самое, что элементарная частица в понимании физиков. Полностью
ответить на вопрос, что же является математическим эквивалентом понятия
элементарной частицы, по-видимому, сможет лишь будущая теория. Тем не
менее, допуская вольность речи, мы иногда будем называть "частицей"
элементарный квантовый объект в определенном здесь смысле.
ОДНОПАРДМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СДВИГОВ
113
Предложение 2.1. Всякое непрерывное проективное представление х Vx
однопараметрической непрерывной группы сдвигов может быть сведено к
унитарному, т. е.
Рис. 8.
существует непрерывное семейство унитарных операторов x-*-Ux такое, что
Vx = axUx, где [avj = l и
I </' ¦. I ' .. ,у
Операторы {Uх) образуют группу унитарных операторов; по теореме Стоуна
(см. § 11.4), существует самосопряженный оператор Р в такой, что
1/* = ехр(-iPx), - оо<х<;оо.
Поэтому действие однопараметрической группы пространственных сдвигов на
множестве квантовых состояний описывается формулой
S->sx = e~lPxSeiPx. (2.1)
По причинам, которые мы выясним в дальнейшем, инфи-нитезимальный оператор
Р связывается с импульсом (количеством движения) рассматриваемого
квантового объекта.
Все это относится не только к пространственным сдвигам, но и к любой
другой однопараметрической подгруппе преобразований. Рассмотрим
преобразование системы отсчета, при котором пространственная система
координат остается неизменной, но сдвигается отсчет времени т' = = т - t.
Это соответствует тому, что все измерения начинаются на время t позже по
сравнению с исходным отсчетом времени. Тогда оператор плотности также
изменится по формуле типа (2.1). Обозначая соответствующий инфи-
нитезимальный оператор через -Я/имеем
St = e-iHtSeiHt. (2.2)
114
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
[ГЛ. III
Дифференцируя формально это соотношение по t, получаем
= S,]; S0 = S. (2.3)
В частности, если 5 = |ф) (ф| - чистое состояние и фе е^(Я), то S< = |ф/)
(ipf [, где | ф,) = e~iHi [ ф), так что соотношение (2.3) вытекает из
формулы (II.4.13), которая принимает вид
г'дГ = Я^: (2-4)
Это уравнение называется уравнением Шредин-гера, а оператор Я, по
причинам, которые станут ясны позднее, называется оператором энергии или
гамильтонианом. Конкретный вид оператора Я определяет динамику квантового
объекта, т. е. закон изменения состояния во времени.
Мы получим строгую версию соотношения (2.3) в гл. VI, опираясь на
математический аппарат, развитый в §§7, 8 предыдущей главы, а пока
ограничимся рассмотрением чистых состояний.
Если X - ограниченная наблюдаемая, то для ее среднего значения ЕДХ) = (ф/
| Хф/), в силу (2.4), имеет место соотношение
^Е,(Х) = (^ Хф/) + (Хф/
