Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 45

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 103 >> Следующая

ст2); (Р, Q) е R2} обладает свойством полноты
$$|Р, Q; ст2)(ст2; Q, Р|^=1. (6.6)
§ в] СОСТОЯНИЯ МИНИМАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ^7
В отличие от формальных соотношений типа (11.3.12), (11.4.16), это
равенство, если понимать интеграл в смысле слабой сходимости, имеет
непосредственное истолкование, так как | Р, Q; о2) является обычным
вектором гильбертова пространства. Однако эти векторы не ортогональны при
различных значениях параметров Р, Q; более того, между ними существуют
линейные соотношения. Можно сказать, что семейство {\Р, Q; а2)} является
"переполненной" системой векторов.
Свойство полноты (6.6) вытекает из так называемых соотношений
ортогональности для неприводимых представлений канонических
коммутационных соотношений. Подобные соотношения имеют общую природу и
выполняются для неприводимого представления достаточно произвольной
группы. Мы установим эти соотношения, для интересующего нас частного
случая, элементарными средствами.
Предложение 6.1. Пусть (х, v)-+WXtV -непрерывное неприводимое
представление канонических коммутационных соотношений (3.2) в
пространстве . Матричные элементы (ф | WXt аф) являются квадратично-
интегри-руемыми функциями от (х, v). Если {ej} -базис в<^Г,то функции
{/&(<" 11Г,А)}
образуют базис в пространстве X2 (R2) комплексных квад-ратично-
интегрируемых функций от (х, v), так что
2^ ^ (е,-1 Wx, vek) (et \ Wx, vem) dxdv = ~ 6;7 8*m (6.7)
(всюду имеются в виду ортонормированные базисы).
Доказательство. В силу теоремы Стоуна - фон Неймана мы можем иметь дело с
представлением Шредингера. Согласно (5.1), для любых ср, i|iee5f
! , _ 'ЛИ ? ______
w*--"^ = y^e 2 j (?-*)<*? =
, _ PM с с_____
= 2пе 2 \ \ ^ ^) ^ (Tl) (Цх~у^] dl Фт], (6.8)
Где "Ф (п) = ^7^ j Ф(Юе",Т||^|, a y = yv. Так как ср, ф
128
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
квадратично-интегрируемы, то ф также квадратично-инте-грируема и ср (?)
if (ц) eir& е %'2 (R2). Поэтому интеграл в (6.8) имеет смысл как
преобразование Фурье sF квад-ратично-интегрируемой функции и функция (ф |
,,ф)
принадлежит =F2(R2). Если -базис в s/F, то функции е/(б) ё* (й) е'п5
образуют базис в =F2(iR2). Поэтому их преобразования Фурье sF[ё] (?) ёк
(т[) eiv&\ также образуют
базис в X2 (|R2). Следовательно, функции -4= (е, \ Wх vek) =
У 2я
ixy ______
= е 2 sF [ф (?) ёк (р) е'лб] образуют базис в пространстве X2 (R2)
функций от переменных х, у = уи, откуда, в частности, следует (6.7).
Разлагая произвольные векторы <р, ф, ... по базису [в]), получаем
^ И (ф1!^^Л)(ф2!^х,т1ф2)^^У = (ф11ф2)(Ф1 Фа)- (6.9) Полагая фх = ф2 = Ф>
гДе (Ф! Ф) = 1 > получаем
? ^ (Фа! ^х. *Ф) (Ф ! WXi вф1) dx dv = (фаJ фх),
т. е.
? S S ^*,*:Ф)(Ф!^, vdxdv^l, (6.10)
где интеграл понимается в смысле слабой сходимости. Таким образом, для
любого единичного вектора ф семейство {И7х>т,!ф); (х, u)e[R2} является
"переполненной"
системой векторов. Это, в частности, верно и для семейства векторов
состояний минимальной неопределенности, которые получаются из вектора
основного состояния (0, 0; а2).
§ 7. Совместные измерения координаты и скорости
Из соотношения неопределенностей Гейзенберга вытекает, что наблюдаемые
скорости P/у и координаты Q несовместимы. Не существует измерения М (dx
du) такого, чтобы измерения Е (dx) и F (dv) были по отношению к нему
маргинальными, т. е. выполнялось
? (dx) = jj М (dxdv), F(dv) - ^M(dxdv).
" 7) СОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ КООРДИНАТЫ И СКОРОСТИ 129
Можно ли, основываясь на этом, утверждать, что квантовая теория
принципиально исключает возможность совместного измерения координаты и
скорости объекта? Последовательное проведение такой точки зрения привело
бы к выводам, которые находятся в очевидном противоречии с опытом.
Поясним это утверждение.
Практически в эксперименте измеряется часто не сама скорость v, а
пропорциональная ей величина - импульс mv, где т - "классическая масса"
объекта. Мы объясним смысл величины т позднее, а пока будем рассматривать
ее просто как некоторый коэффициент пропорциональности. Полагая Н - т/у,
введем наблюдаемую импульса р = =* %Р. Обозначая q = Q, имеем
[7, р] - itl (7.1)
/
и соотношение неопределенностей
D(q)D(p)^h*/4. (7.2)
В этих соотношениях Нф 0. Если же Н = 0, то соотношение (7.1)
превращается в условие [q, р] = 0, характерное для классических теорий,
где все наблюдаемые совместимы. Представляется очевидным, что в
классическом пределе #->-0 наблюдаемые q и р должны в каком-то смысле
"становиться совместно измеримыми". Как согласовать это с
несовместимостью q и р при любых сколь угодно малых %Ф 0?
Этот "парадокс" можно сформулировать еще более отчетливо, если
рассмотреть "макроскопический объект", состоящий из большого числа N
квантовых частиц, канонические наблюдаемые которых удовлетворяют
коммутационным соотношениям
[q,, pk\ = mJk, [qJt 7*] = [Р/, р*] = 0. (7.3)
Тогда "макроскопические наблюдаемые" - координата
N N
центра масс q - jq ^ Pi и полны(r) импульс р = ^ Pj - /=1 /-1
удовлетворяют тому же коммутационному соотношению
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed