Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 37

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 103 >> Следующая

что форма [У, X]s непрерывна на X2(S). Поэтому существует ограниченный
комплекснолинейный оператор 2) в X2(S) такой, что
[У, X]S = (Y, 2) • X>s. (10.4)
§ 10J КОММУТАЦИОННЫЙ ОПЕРАТОР СОСТОЯНИЯ
103
Оператор 2) назовем коммутационным оператором состояния S. Неравенства
1), 2) предложения 9.1 в терминах оператора 2) принимают вид
1±^Ф5*0 в X2(S), (10.5)
откуда
(i + I(r)*)-(i + 2's)(i-ii>)&o.
Так как формы [У, X]s и (У, X)s вещественны на вещественном
подпространстве Xl(S), то это подпространство инвариантно
относительно оператора 2). Рассматриваемый в XI (5),
этот оператор является ограниченным
вещественно-линейным кососимметричным оператором,
удовлетворяющим условию 1+~2)2^0. Тождество (8.9)
в терминах 2) принимает вид
2)-1 = 0. (10.6)
Дадим явное описание действия оператора 2). Из (10.4),
(8.5) и (8.7) вытекает, что для любого ограниченного У*
i Тг[Х, 5] • У* = Тг (2) • X -5) • У*,
откуда следует, что элемент Z = 2) • X е X2 (S) является решением
операторного уравнения
Z°S = /[Х, 5]. (10.7)
Пусть {sy} - собственные числа, {фу} - ортонормирован-ные собственные
векторы оператора плотности 5. Рассмотрим матричное представление
X = У, xjkEjk,
Ik
где Xjk = (фу | Хф*) и ряд сходится в X2(S). Умножая уравнение (10.7)
скалярно слева на фу и справа на фА, получаем
-j (Sk+ty) (Фу 12ф*) = i (sk - sj) (фу | Хф*), откуда находятся матричные
элементы оператора Z = 2) • X; (ф/12фА) = 2^г^(фу1ХфА),
104
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
Следовательно, действие оператора 2) сводится к умножению матричных
элементов х//г оператора X на числа 2" (s*-s/)
sk + si
2 i (sA -s,-)
sk + s/
X/k
(10.8)
так что базис {Ejk\ является базисом из собственных векторов оператора ф
в ?* (S). Поэтому для любо! .функции / действие оператора /(2)) задается
соотношением
/(5)) (|х/а]) =
/2i (Sft-s,-) \
М-
В частности,
1 + 2 -
1 - g 2 j (Iл:,*]) =
(i + | ?2j(K*]) =
sk +s/ 2s i
sk + si 2sk
.4 +Sj Л/к
X/k
-X,
(10.9)
4s*s; 1
(s* + s,)* X'ky
Отсюда вытекает полезное утверждение.
Предложение 10.1. Если состояние S - точное
(т. е. все s/>0)y то операторы 1 ± ^ X, 1-|-^-22 невырождены.
Отметим также полезную формулу
(1 2) 1 = (l + i 22)"(l + ' 2). (10.10)
Комментарии к гл. II
§ 1. Систематическое изложение теории гильбертова пространства см. в
книгах: Ахиезер и Глазман [3], Рисс и Секефальви-Надь [86].
Модернизованное изложение функционального анализа, приспособленное к
нуждам математической физики, дается в книге Рида и Саймона [85]. Богатый
дополнительный материал можно найти в задачнике Халмоша [103]. Для
"внешнего" произведения векторов в математической литературе используется
менее выразительное обозначение Ф(r)ф-
§ 2. Обобщенные разложения единицы (на прямой; 'ылп введены Карлеманом и
подробно изучены Наймарком [7iJ, [72[, Теорема 2.1 доказана в работе
автора [115J,
КОММЕНТАРИИ
105
§§ 3, 4. Доказательства спектральных теорем для эрмитовых и
самосопряженных операторов можно найти в упомянутых выше книгах. Теорема
4.1 дог азана фон Нейманом и Стоуном. По поводу спектрального разложения
симметричных операторов см. Наймарк [71], Ахиезер и Глазман [3].
Дираковское разложение по формальным собственным векторам получает
строгое обоснование в теории оснащенных гильбертовых пространств (см.
Гельфанд и Виленкин [31], Боголюбов, Логунов, Тодоров [14]).
§ 5. Теорема 5.1 была доказана Наймарком в работе [72] путем явного
построения ортогонального разложения единицы в прямой сумме копий
исходного пространства ъЖ. Предложенные впоследствии более элегантные
доказательства (см., например, Ахиезер и Глаз ман [3]) являются и более
формальными. По поводу тензорного произведения гильбертовых пространств
см. Рид и Саймон [85].
Понятие реализации и его связь с рандомизированными процедурами
математической статистики обсуждались в работах автора [113], [115],
[122]. Другая возможность возникновения неортогональных разложений и
"переполненных" систем векторов связана с так называемыми косвенными
измерениями (Мандельштам [67]). При косвенном измерении объект гЖ
взаимодействует с "измерительным прибором" Ж 1, который находится сначала
в некотором "равновесном" состоянии затем с з5Г, "снимаются показания",
т. е. производится простое измерение E\(du) в пространстве гЛ Петру но
показать (ср. Краус [55]), что распределение вероятностей результатов
такой измерительной процедуры также описывается, вообще говоря, неорто
тональным разложением единицы в пространстве оЛ .
Мы оставляем в стороне вопрос о возможном механизме переноса информации с
микроскопического на макроскопический уровень. Интересная точка зрения на
этот вопрос развивается в работе Хеппа [110]. Поскольку измерительный
прибор является макроскопическим объектом, т. е. системой с практически
бесконечным числом степеней сво боды, для его описания привлекаются
специальные алгебры наблюдаемых. Для таких алгебр существуют так
называемые дизъюнктные, или "макроскопически различимые", состояния.
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed