Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
В гл. IV мы покажем, что этот результат справедлив в классе всех
ковариантных измерений координаты - скорости.
Чтобы рассмотреть классический предел, положим \i. = m/h, р = НР. Тогда
(7.14) принимает вид
off {M}-3zgxDs(q)+gvDs (p/m) + Пт-1 Vg^gv
Считая, что при 0 Ds (р) ~const, т~ const, из (7.15) получаем Ds, (q0) ~
П, Ds, (р0) ~ И, так что дисперсии добавочных членов, обеспечивающих
коммутативность операторов р - р (r) /0 +1 <8> р0, Ч = q(r) I0 - I <8Wo>
стремятся к нулю и измерение р, Ч переходит в классическое измерение
наблюдаемых р, q.
§ 8. Динамика квантовой частицы
с одной степенью свободы
Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы показать, что принцип
галилеевой относительности позволяет описать не только кинематику
квантовой частицы, но и
d%{M} = gxVx{M} + gvVv{M}, (7.13)
ДИНАМИКА КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ
137
все возможные динамики, т. е. развитие состояния во времени. Изложение
будет неполным и нестрогим, так как аккуратное проведение доказательств с
неограниченными операторами увело бы нас в сторону от основного
содержания.
Для того чтобы охватить и временную эволюцию квантового состояния,
необходимо рассмотреть полную галилееву группу преобразований системы
отсчета
?' = S + * + wr, т' = т + ^.
Каждое такое преобразование характеризуется тремя параметрами (х, и, t),
причем закон умножения дается формулой
(xv vlt tj (х2, v2, tj*~(x1 + xi + v1ta, v1 + v2, t1 + t2).
Согласно общей схеме, мы должны найти всевозможные неприводимые
проективные представления (х, v, t) ->¦ WXt t галилеевой группы.
Основываясь на общей теории проективных представлений, можно показать,
что за счет выбора несущественных числовых множителей соотношение (1.6)
для галилеевой группы всегда можно привести к виду
^"1. о,. tiW*i, Oi. "
= еХР (XlV* ~ X*Vl + ^i^)] х
X 0, + п,. <,+<," (8.1)
где (х^О. Ограничение этой формулы на группу кинематических
преобразований WXfVsaWx,Vf0\ (х, v) е IR8, как и следовало ожидать,
совпадает с каноническим коммутационным соотношением. Воспользуемся тем,
что мы уже знаем описание представлений кинематической группы и исследуем
связь между кинематикой и динамикой, т. е. семейством \WXtV} и
однопараметрической унитарной группой временных сдвигов Vt^W0t0it; felR.
Пользуясь формулой (8.1), получаем соотношение
VfW x,vVt = W x-vtt v, которое дает связь между {Vt} и {WXtV}.
138
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 1ГЛ. ПГ
Полагая здесь поочередно х = 0 и о = 0, получаем два основных
соотношения:
VfUvVt = W-vt,v, (8.2)
(8.3)
Приведем эвристические аргументы, которые показывают, что эти соотношения
определяют вид инфинитезимального оператора Н унитарной группы Vt -
eritH, задающей временную эволюцию состояния. Именно, из соотношения
(8.2) вытекает, что
Я = ^Г + у(<2)' <8-4)
где v (•) - некоторая вещественная функция, а дополни-
тельный учет (8.3) приводит к однозначно (с точностью до несущественной
аддитивной постоянной) определенному гамильтониану
(8-5)
Полагая X - Q в формуле (2.6), имеем
^E,(Q) = E,(/[tf, Q]). (8.6)
С другой стороны, учитывая, что Q = (/p.)-1 Uv | и
соотношение (8.2), получаем
= (^ 1 Эх dv Et (^_wt' ^ 1*-в-0' Согласно (5.5), H7_1,t,'o = exp/(p.oQ-f
vxP), откуда
Ж =} Ж Е< It-о = (Р). (8.7)
Сравнивая (8.6) и (8.7), имеем
±Et(P) = E<(i[H, Q]).
Так как состояние St произвольно, то мы имеем основание написать
формальное соотношение
= Q].
ДИНАМИКА квантовой частицы
I"
Это соотношение можно рассматривать как линейное неоднородное уравнение
относительно Я; его общее решение представляется в виде суммы частного
решения Я0 и общего решения v однородного уравнения
[V, Q] = 0.
На рассматриваемом здесь формальном уровне общее решение этого уравнения
имеет вид v = v(Q), где v(-) -произвольная вещественная функция. Покажем,
что можно
Р2
взять Я0 в виде Я0 = -щ- Для этого заметим, что для
любой дифференцируемой функции /(•) имеют место соотношения
I [/ (Q), Р] = -Г (Q), t [Q. f (Р)] = -Г (Л. (8.8)
Первое соотношение вытекает из того, что в представлении Шредингера (*)]
Ф (*) = - Г (х) Ф (х); второе
совершенно аналогично получается в импульсном пред-
pz г pz1
ставлении. Полагая в нем f(P)~ получаем i^Q, =
р
= --, что и требовалось. Таким образом, мы получили
(8.4) как формальное следствие (8.2). Условие (8.3) в терминах
инфинитезимальных операторов имеет вид
[Я, Р] = О,
ра
откуда v (Q) = const и Я = у- + const.
Таким образом, требование галилеевой относительности однозначно
определяет вид гамильтониана свободной квантовой частицы; если
рассматривается движение во внешнем потенциальном поле, не зависящем от
времени, то условие пространственной однородности (8.3) следует опустить
и требование ограниченной галилеевой относительности (8.2) дает общий вид
гамильтониана во внешнем поле (8.4).
Установим теперь смысл константы р и членов, входящих в гамильтониан.
Рассмотрим состояние S, для которого распределение вероятностей
наблюдаемой координаты (5.6) концентрируется вблизи среднего значения Е
