Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(7.1), что и "микроскопические наблюдаемые". Таким образом, соотношения
(7.1), (7.2) имеют место и для любой макроскопической степени свободы.
Поскольку %Ф 0 (хотя оно ц очень мало в макроскопическом мае-
130
СИММЕТРИИ в квантовой механики [гл. ш
штабе), следовало бы признать принципиальную невозможность совместного
измерения координаты и импульса и в классической механике.
Очевидно, однако, что такой вывод противоречит экспериментальной практике
классической физики, которая повсеместно имеет дело с совместными
измерениями. Совместные измерения координат и импульсов встречаются и в
экспериментах над микрообъектами; например, по траектории заряженной
частицы в камере Вильсона определяются и координата, и импульс частицы
(по радиусу кривизны траектории в магнитном поле). По существу, даже в
тех случаях, когда измеряется только импульс, экспериментатор располагает
и некоторой информацией о локализации "частицы" -например, что она
находится в момент измерения в пределах экспериментальной установки.
Включая эту информацию в результаты измерения, можно говорить, что здесь
также производится некоторое совместное измерение импульса и координаты.
Очевидно, однако, что во всех подобных случаях идет речь не о точном, а о
каком-то "приближенном" измерении, результаты которого имеют некоторый
случайный разброс. Поскольку подобные измерения являются обычными в
физике, они должны иметь отражение в математическом формализме теории,
претендующей на полное описание явлений микромира.
Вопрос о "приближенных" совместных измерениях координаты и скорости
находит естественное решение в рамках новой концепции квантового
измерения, развитой в гл. I, II. Согласно этой концепции, совместное
измерение параметров координаты х и скорости и, как и измерение любой
пары величин, описывается некоторым разложением единицы M{dxdv) в ,
причем совместное распределение вероятностей измерения относительно
состояния 5 дается формулой (dxdv) = Tr SM (dxdv). Чтобы выделить из
разложений единицы те, которые действительно могут соответствовать
совместным измерениям координаты и скорости, мы привлечем соображения
ковариантности, аналогичные тем, которые использовались в § 3 для
выяснения кинематического смысла наблюдаемых Р и Q. Предположим, что
состояние S приготовляется некоторой установкой, с которой связана
исходная система отсчета. Если теперь такая же установка дви-
§7] СОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ КООРДИНАТЫ И СКОРОСТИ 1*1
жется со скоростью v и находится в точке х относительно исходной системы,
то приготовляемое ей состояние описывается оператором плотности
Пусть разложение единицы М (dx dv) описывает совместное измерение
координаты и скорости; тогда естественно потребовать, чтобы распределение
вероятностей измерения М (dx dv) относительно "сдвинутого" состояния SX:
" было сдвигом на вектор (х, и) исходного распределения, т. е.
где = - х, т] о); (?, t|)gB}-сдвиг на вектор
- (х, о) множества В (рис. 9), причем это должно выполняться для любого
состояния S.
Это равносильно условию
которое аналогично условиям ковариантности (4.3), (4.5) для измерений
координаты и скорости. Измерения, удовлетворяющие условию (7.4),
называются ковариантными по отношению к представлению (х, v)-*-WXiV
кинематической группы.
Приведем весьма общий пример разложения единицы, удовлетворяющего условию
ковариантности (7.4). Пусть if -единичный вектор в <Ж. Рассмотрим
операторнозначную меру
М(Я) = $$\РХ."|4)(Ф|У;>В!Ц^; вев*(к*).
^xv(B)^^(B_x,_v),
Рис. 9.
Г;.0М(В)Г,,, = М(В-,._); Sea/ (R2), (7.4)
в
132
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
Интеграл здесь понимается в смысле слабой сходимости; он сходится в силу
квадратичной интегрируемости матричных элементов представления
(предложение 6.1). Это соотношение действительно задает измерение: М (В)
О в силу положительности подынтегральной функции, а-аддитивность вытекает
из свойств определенного интеграла, а условие нормировки Af(iR2) = I
равносильно соотношению полноты (6.10) для семейства векторов {Wx,vm-,
(х, ц) е R*}. Мы условимся записывать эту формулу в виде
M(dxdv)^Wxv\^)(y!p.\Wtv^~. (7.5)
Ковариантность этого измерения по отношению к представлению (х, v)-+WXlv
является прямым следствием канонического коммутационного соотношения
(3.2) Распределение вероятностей результатов измерения относительно
состояния S имеет вид
ps (dx dv) = (ф I W%SWX^)^^. (7.6)
Особенно важным является каноническое измерение, соответствующее выбору в
качестве ф вектора основного состояния 10, 0; а2). Тогда, согласно (6.5),
М (dx dv) = | pv, х; а2) (о2; х, pv | (7.7)
а распределение вероятностей имеет вид
ps (dx dv) - (а2; х, pv \ S | ри, х; а2) (7.8)
Дадим идеализированное описание эксперимента, который можно рассматривать
как реализацию измерения
(7.5) в смысле § II.5. Кроме исходного пространства еЗГ и определенных в
нем операторов Р, Q введем идентичное пространство о и операторы Р0, Q0 в
с2Г0, удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению.
