Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Дадим математическую формулировку принципа относительности. Предположим,
что состояние квантового объекта приготовляется некоторой установкой, с
которой связана система отсчета (|, т) (рис. , 7). После приготовления
состояния S проводится измерение /И, так что конечным результатом
эксперимента является распределение вероятностей Измерение
осуществляется прибором,
имеющим определенную ориентацию в пространстве-вре-
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
109
мени. Будем считать, что с ним также связана система отсчета (|, т).
Предположим теперь, что положение и установки, и прибора изменяется
одинаковым образом, так что связанные с ними системы отсчета подвергаются
одному и тому же галилееву преобразованию g. Приготовление состояния S
данной установкой с последующим преобразованием g положения установки
можно рассматривать как некоторый новый способ приготовления gS\
аналогично, измерение М, проведенное после преобразования g, можно
Рис. 7.
рассматривать как некоторое новое измерениеgM. Однако, поскольку
относительное положение прибора и установки не изменяется, должно быть
= (1-3)
для любого состояния S и измерения М. Из равноправности всех систем
отсчета следует также, что отображение S-+gS (соответственно М ->?Л1)
должно быть взаимнооднозначным отображением множества состояний
(соответственно измерений) на себя. Отсюда вытекает, что отображение S-
ygS является аффинным: пусть 5 = У', pfSt\
f
тогда
i i
Поскольку gM пробегает всевозможные измерения, то, в силу отделимости
рассматриваемой статистической модели, это означает, что
gS == X Pi (SSJ)>
i
110
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
т. е. аффинность отображения S^>-gS. Взаимно-однозначное аффинное
отображение множества состояний на себя называется автоморфизмом. Примем
также, что последовательное применение двух преобразований gt, g2
положения установки или прибора эквивалентно преобразованию gig2, так что
gi(ftS) = (gigs)<S, ,, 4,
gi few)=(g1g2) /и.
Это означает, что заданы действия группы G= {g}, с одной стороны, как
группы автоморфизмов S-*-gS множества состояний 0 и, с другой стороны,
как группы взаимнооднозначных преобразований M-*-gM множества измерений
дЛ, причем действия этих групп связаны условием (1.3). В этом и состоит
математическая формулировка принципа относительности. В рассматриваемой
нами нерелятивистской квантовой механике под группой G подразумевается
галилеева группа, а (0, Ш) является статистической моделью квантовой
теории.
Заметим, однако, что все эти рассуждения применимы и к любой другой
группе симметрий G. Кроме того, мы пока не использовали специфику модели
квантовой теории. Следующий результат, принадлежащий Вигнеру, раскрывает
структуру автоморфизмов множества квантовых состояний.
Теорема 1.1. Всякий автоморфизм множества квантовых состояний 0 (ФУГ)
имеет вид
S^VSV*, (1.5)
где V - унитарный или антиунитарный оператор в гильбертовом пространстве
ФУГ.
(Оператор У, отображающий ФУГ на ФУГ, называется антиунитарным, если он
антилинеен: У (hp + рф) = Z У ф -f-+ рУф и удовлетворяет условию (Уф |
Уф) = (<р | ф).)
Важно отметить, что оператор У определяется в (1.5) неоднозначно: У можно
умножить на произвольное комплексное число, равное по модулю единице, не
изменив состояния S = УЗУ*. Рассмотрим произвольную группу симметрий G
(ею может быть галилеева, евклидова или какая-либо другая группа). Из
(1.4) тогда вытекает, что для любого состояния 5
Ve,VeiSVhVh = VgtglSVU,
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
111
где KgS Vg = gS,откуда
VstV&t = <"(g2, gx) Kg,g,; | to (g-2, g-x) | = 1. (1.6)
Рассматриваемые нами группы являются непрерывными: в них естественно
определяются понятия близости и сходимости. Практически не ограничивая
общности, можно считать, что отображение g-+Vg непрерывно в том смысле,
что (ф | Vg-ip) -(ф | Vg-oJ?) при ^'-э-^для всех ср, Будет считать также,
что Ve, где е - единица группы G, всегда выбирается так, что Vе- I. Кроме
того, предположим, что группа является с в я з н о й, т. е. любые два ее
элемента можно соединить непрерывной кривой. Тогда ни один из операторов
Vg не может быть анти-унитарным - в противном случае можно было бы
перейти непрерывным образом от линейного оператора Ve = l к антилинейному
оператору Vg. Итак, в предположении связности группы G, все операторы
{Vg] являются унитарными.
Семейство унитарных операторов geG, в не-
котором гильбертовом пространстве эЗГ, удовлетворяющее условию (1.6),
называется проективным (унитарным) представлением группы G в еЖ. Если со
= 1, то оно называется просто унитарным. Мы будем рассматривать только
непрерывные в указанном выше смысле представления.
Одной из основных задач теории представлений является классификация
представлений данной группы. Из сказанного выше видно, что, имея такую
классификацию для некоторой группы симметрий G, мы можем описать все
теоретически возможные квантовые объекты с данным типом симметрии. Особую
роль играют неприводимые представления g-+Vg, для которых в пространстве
