Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 41

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 103 >> Следующая

di
= i (Яф/ | Хф/) - i (Хф/1 Яф/) = -2 Im (Яф/1 Хф/). (2.5)
(Дифференцирование здесь законно в силу ограниченности X.) Это. можно
также переписать в виде
^Е,(Х) = Е,("[Я. X]), (2.6)
если правая часть имеет смысл. Используя соотношение неопределенностей
(11.6.7), получаем важное неравенство МандеЛьштама-Тамма
1
dr- / (8
D,(X)D,(Я)^т ?Е/(Х)|
на произво./
5ыми момен
(2.7)
В гл. VI мы обобщим это неравенство на произвольные состояния St и
измерения М с конечными вторыми моментами:
§ 2] ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СДВИГОВ
115
Аналогичный результат имеет место для любой однопараметрической группы,
например для группы пространственных сдвигов:
Dx{M}Dx(P)^±\±cEx{M}\\
Значение этих результатов состоит в том, что они позволяют получить
принципиальную нижнюю границу для точности измерения физических
параметров, существенно обобщающую обычное соотношение неопределенностей.
Рассмотрим сначала измерения параметра положения (координаты) квантового
объекта. Если установка, приготовляющая квантовое состояние S, сдвигается
параллельно себе на расстояние х, то новым состоянием будет Sx,
определяемое соотношением (2.1). В этом смысле параметр х отражает
информацию о положении микрообъекта. Предположим теперь, что истинное
значение параметра координаты х неизвестно и должно быть определено по
результатам измерений. Пусть M = {M{dx)\ - некоторое измерение, которое
производится с целью оценки истинного значения х. Предположим, что
измерение М не дает систематической погрешности; математически это
означает, что среднее значение результата измерения равно значению
измеряемой величины, т. е.
Е Х{М} - х, - оо < я < оо.
Следуя терминологии, принятой в математической статистике, мы называем
такие измерения несмещенными.
Для несмещенного измерения ~ЕХ{М}^1, так что наше
неравенство принимает вид
(2-8)
Таким образом, для любого несмещенного измерения параметра координаты
дисперсия ограничена снизу величиной, обратно пропорциональной дисперсии
("неопределенности") импульса Р.
Аналогичный результат имеет место и для измерений параметра времени t.
Рассмотрим семейство состояний
(2.2). Замена состояния 5 на St означает перенос во времени процедуры
приготовления. Допустим, что нас интересует измерение момента
осуществления некоторого со-
116
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ ГГЛ III
бытия, связанного с данным объектом, причем этот момент обладает
следующим свойством: перенос во времени процедуры приготовления исходного
состояния приводит к точно такому же сдвигу момента осуществления
рассматриваемого события. Таким свойством обладает, например, всякая
величина типа "момента достижения" или "момента прохождения". Дисперсия
любого несмещенного измерения такого момента времени ограничена снизу
величиной, обратно пропорциональной "неопределенности" энергии Н в
исходном состоянии:
0'"э'илвг (2-9>
В физической литературе долго дебатировался вопрос - применимо ли
соотношение неопределенностей к продолжительности измерения - В этой
связи заметим, что величина t2 - tx вообще не фигурирует в нашем анализе;
конечный результат эксперимента - распределение вероятностей результатов
измерения - получается по истечении времени t2 - t1, которое определяется
конкретным механизмом измерения и, вообще говоря, может быть
произвольным. Однако в тех случаях, когда продолжительность эксперимента
обусловлена моментом наступления некоторого события (например,
прохождения частицы), т. е. прибор работает в режиме ожидания, и
эксперимент заканчивается, когда ожидаемое событие наступает, соотношения
(2.7), (2.9), конечно, применимы к дисперсии статистической оценки
возможной продолжительности измерения t2 - tx.
§ 3. Кинематика квантовой частицы
с одной степенью свободы
В случае одномерного движения система отсчета описывается парой
переменных (|, т), где | - пространственная, т -временная координаты.
Рассмотрим другую систему отсчета, сдвинутую относительно первой на
расстояние х и движущуюся относительно нее со скоростью v. Переход к этой
системе задается кинематическим преобразованием Галилея
g'=|-x -от, т'=т.
(3.1)
§31
КИНЕМАТИКА КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ
117
Это равносильно изменению положения экспериментальной установки, при
котором она сдвинута на расстояние х и движется со скоростью v
относительно своего исходного положения. Совокупность всех таких
преобразований образует группу R2, так как каждое преобразование задается
парой параметров (х, и), причем произведение преобразований описывается
соотношением
(х1У у,)(х2, v2) = (x1 + x2, ух + и2).
В соответствии с общей схемой, изложенной в § 1, мы будем искать
неприводимые проективные представления группы кинематических
преобразований (х, v)^-WXiV. Покажем, что, пользуясь произволом в выборе
множителя перед WXtV, можно всегда сделать так, что соотношение (1.6)
будет иметь вид канонического коммутационного соотношения Вейля-Сигала
W.
Vj X2t V2 '
= exp
WXt+x^ 0, + о2; р=?0. (3.2)
Положим Vx=WXi0, Uv=W0tV. Преобразования S^VxSVi, S^UvSUt
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed