Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Взаимодействие микрообъекта с прибором переводит последний в одно из
дизъюнктных состояний, отвечающих некоторому значению и результатов
эксперимента. В работе Хеппа рассматривается ряд конкретных моделей,
убедительно иллюстрирующих эту картину
§ Г., Формальное соотношение неопределенностей для произвольных
наблюдаемых было установлено Робертсоном ]87], который обобщил
соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса.
Предложение 6.1 доказано в книге Дэвиса [39]. Обсуждение совместной
измеримости с других точек зрения можно найти у фон Неймана [101],
Урбаника [95], Варадарайзна [22]. Относительно совместного спектрального
разложения и функционального исчисле ния нескольких коммутирующих
операторов см. Рисс и Секефальви Надь [86].
§ 7. Ядерные операторы и операторы Гильберта-Шмидта рассмат риваются в
книге Рида и Саймона [85]. Более подробное изложение читатель найдет у
Шаттена [129], а также Гельфанда и Виленкина [31].
§ 8. Пространства J?2(S) были введены в работах автора [121], [123]. В
последней работе, где рассматривается случай произвольной
106 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
алгебры фон Неймана, содержится доказательство теоремы 8.1. Понятие
квадратично-суммируемого оператора использовалось ранее в работах Холево
[115] и Крауса и Шрётера [56].
§ 9. Строгое соотношение неопределенностей для самосопряженных операторов
было получено Краусом и Шрбтером [56]. Конструкция интеграла (9.4) дается
в работе [123].
§ 10. Представление неограниченных операторов матрицами связано с
известными трудностями (см., например, Ахиезер и Глазман [3]). Содержание
этого параграфа показывает, что в тех вопросах, где важны лишь "вторые
моменты", эти трудности несущественны и удовлетворительное матричное
представление имеет место. Коммутационный оператор состояния был введен в
работах Холево [121], [123], где рассматривались также состояния на
алгебре фон Неймана. Существует простое соотношение между коммутационным
оператором и модулярным оператором Томиты -Такесаки [98]; см. [123].
Глава III
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ 1. Статистическая модель и принцип относительности
Мы переходим к рассмотрению специфики статистического описания
квантовомеханических объектов, обусловленной той исключительной ролью,
которую играет в нем наличие пространственно-временной структуры.
Обратимся сначала к классической механике. Фундаментальный принцип
относительности Галилея гласит, что законы механики имеют одинаковую
форму во всех инерциаль-ных системах отсчета. Всякая система отсчета
состоит из декартовой прямоугольной системы координат и часов,
осуществляющих отсчет времени. Если (§, т) -координаты материальной точки
в фиксированной инерциальной системе отсчета, то переход к другой
инерциальной системе отсчета описывается преобразованием Галилея
l' = Rl + x + vx,
т' = т + t, ( '
где R - ортогональная матрица (вращение), задающая положение осей новой
декартовой системы координат относительно старой, х - вектор
пространственного сдвига начала координат, (r) -вектор скорости, с которой
движется старая система координат относительно новой, at - разность хода
часов в старой и новой системах отсчета. Совокупность всех преобразований
вида (1.1) образует полную галилееву группу, она содержит подгруппу
кинематических (одновременных) преобразований
v-m+x+ш,
т - т,
и евклидову подгруппу пространственных преобразований (движений)
108
СИММЕТРИИ В КВЛНТОВОП МЕХАНИКЕ
[ГЛ III
Математическая формулировка принципа относительности в классической
механике состоит в том, что уравнения механики должны быть инвариантны
при заменах переменных вида (1.1), описывающих переход от одной инер-
циальной системы отсчета к другой. Это требование относится, конечно, к
изолированному объекту; если же рассматривается движение в поле внешних
сил, то этот принцип следует заменить ограниченным принципом
инвариантности, учитывающим степень симметрии внешнего поля. Так,
уравнения движения в потенциальном поле, не зависящем от времени, должны
быть инвариантны относительно преобразований
|' = | + вт
т' =т +1\
если же поле, например, изотропно, то сюда следует присоединить повороты
V=Rl и т. п.
Переходя к квантовой механике, примем, что принцип равноправия
инерциальных систем отсчета сохраняет свою справедливость и для
микрообъектов. Однако мы не можем взять точную формулировку принципа
относительности из классической механики, где параметры §, т имеют
непосредственный смысл как пространственно-временные координаты
материальной точки; в ситуации, описываемой квантовой теорией,
непосредственно данными можно считать статистические результаты
экспериментов над рассматриваемым микрообъектом. С этой точки зрения
подходящей словесной формулировкой принципа относительности
представляется следующая: статистика результатов любого эксперимента не
зависит от выбора инерциальной системы отсчета, в которой проводится
эксперимент.
