Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
разложение
(3.1)
k
где ЯА - собственные значения оператора X (без учета кратности), Eh -
проекторы на инвариантные подпространства, отвечающие значениям Я*. Набор
проекторов \Ек) образует ортогональное разложение единицы, так что
'^Ек = I, ЕкЕ/= 0 при k=?j. (3.2)
k
Бесконечномерный аналог формулы (3.1) имеет место для вполне непрерывных
эрмитовых операторов (см. § 7). Однако далеко не всякий ограниченный
оператор вполне непрерывен и вообще имеет хотя бы один собственный
вектор. Примером может служить оператор умножения на независимую
переменную х в пространстве %г{а, Ь), где (а, Ь) - ограниченный интервал
на прямой. Уравнение
хф (х) = (х) (3.3)
имеет континуальный набор формальных решений
ф|(х)~6(х - ?); а < | < Ь, (3.4)
однако им не соответствуют ненулевые векторы в Х* (а, Ь).
66 математический аппарат квантовой ТЕОРИИ [ГЛ. и
Тем не менее всякий эрмитов оператор в гильбертовом пространстве имеет
спектральное разложение, в котором появляется уже непрерывный аналог
суммы (3.1). Чтобы пояснить переход от суммы к интегралу, введем
ортогональное разложение единицы на прямой, полагая
Е (В) = 2 ((R)
((r)^ (R) - ст-алгебра борелевских множеств*) в R), или, формально,
Е (dk) = ^ 6 (к - kk) dk. (3.5)
Тогда соотношение (3.1) можно записать в виде
Х = \ХЕ(йк). ' (3.6)
Пусть теперь Е (ей) - произвольное ортогональное разложение единицы в е%Т
Предположим, что оно сосредоточено на ограниченном множестве AcR, т. е.
Е(А) = 1. Тогда для любого фе&Г носителем вероятностной меры (dk) = Тг
S^E (dk) = (ф j Е (dk) ф) будет ограниченное множество Л, и поэтому
интеграл
J к (ф | Е (dk) ф) = J Vi, (dk) (3.7)
сходится. Этот интеграл определяет непрерывную эрмитову форму на которой
соответствует эрмитов оператор X, так что
(ф | Хф) = J к (ф | Е (dk) ф), феХ. (3.8)
Таким образом, имеет место равенство (3.6), где интеграл понимается в
смысле слабой сходимости. (Более детальный анализ показывает, что
интеграл (3.6) сходится также в сильном смысле.)
Теорема 3.1 (спектральная теорема для ограниченных операторов).
Соотношение (3.6) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между
эрмитовыми операторами X и ортогональными разложениями единицы Е (dk) в
аХГ, сосредоточенными на ограниченных подмножествах R.
*) ст-алгебра борелевских множеств - это наименьшая о-алгебра, содержащая
все открытые множества,
РАЗЛОЖЕНИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
67
Разложение единицы Е (dX) называется также спектральной мерой оператора
X.
Вернемся на время к операторам, отвечающим конечным разложениям единицы
(3.5). Из (3.2) вытекает, что для любого многочлена р (X)
p{X) = ^ip(Xk)Et! = \p(X)E{dX).
k
Аппроксимируя в общем случае интегралы суммами, можно показать, что для
произвольного эрмитова оператора X выполняется
Р (X) = ^ р {X) Е (dX).
Пользуясь этим, определим эрмитов оператор /(X), где / - ограниченная
измеримая функция, соотношением
(ф|/(Х)ф) = $/(Я)(ф[?(<а)ф); фёЕейГ.
Отображение /->/(Х) сохраняет алгебраические функциональные соотношения:
линейная комбинация и произведение функций переходят соответственно в
линейную комбинацию и произведение соответствующих операторов. Обозначая
1д(Я) индикатор множества B = s^(R), имеем
Е(В) = 1в(Х).
Отображение /->/(Х) сохраняет также отношения упорядоченности. Например,
полагая
|Х| = $|Я|?(<а), ' (3.9)
имеем ±Х<;|Х|, так как d=x^|x| для всех х <= R* Из равенства
X2 = J Х2Е (dX)
вытекает, что
11Хфр = $я2(ф|?(<а)ф).
В качестве примера рассмотрим оператор Q умножения на независимую
переменную х в пространстве Х2(а, Ь), где (а, Ь) - ограниченный интервал.
Имеем
ь
Q = \lE(dl), (3.10)
68
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. И
где Е (В)-\в(х). В самом деле, (3.10) означает, что
(з.п)
а
Ь
где (В) = (ф | Е (В) ф) = $ 1 в (х); ф (х) ,2 dx = ^ 1 ф (х) J2 dx,
а В
так что ^ (dQ = | ф (?) \2 d% и равенство (3.10) очевидно. Таким образом,
спектральной мерой оператора умножения на х является семейство проекторов
{lB(x); Д = GEe^ ((а, Ь))}.
Оператор умножения является типичным примером оператора с непрерывным
спектром. Как мы видели, он не имеет собственных векторов в =2;2 (а, Ь),
хотя уравнение (3.3) имеет интуитивно понятные формальные решения (3.4).
В этой связи уместно сказать несколько слов о формализме Дирака
применительно к операторам с непрерывным спектром. Следуя Дираку,
обозначим через 11) формальную собственную функцию (3.4). Набор {||); | е
(а, b)} является "ортонормированным" в том смысле, что
(?'!?) = 6 (?-5'),
и удовлетворяет формальному условию полноты
$1ШЕ|^=1. (3.1.2)
а
На самом деле (3.12) является сокращенной формой записи равенства
(? 1Ф)^ = (ф[ф), феЕз5Г,
а
которое становится осмысленным, если понимать символ (?|ф) как
ь
(?1Ф) = $6(*-?)ф(*Ы* = ф(?). (ЗДЗ)
а
Таким образом, семейство (||)} является формальным
континуальным аналогом ортонормированного базиса,
а соотношение (3.12) является непрерывным аналогом условия полноты
(1.11). Спектральное разложение опера-
