Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
умножения, так что, в обозначениях Дирака,
q=] m)a\di.
- оо
В качестве следующего примера рассмотрим самосопряженный оператор Р -
Р1~^ в °^2(-00> °°)- Этот оператор имеет континуальный набор формальных
собственных векторов
_ оо <С Л < °°>
удовлетворяющий условиям ортогональности и полноты типа (3.12). Обозначая
формальные собственные векторы через |т)); -со<тКсо, мы можем ожидать,
что Р имеет спектральное разложение
ОО
р= S Т11'П)('П !^Т|.
- ОО
Для того чтобы придать этим рассуждениям точный смысл, рассмотрим
преобразование Фурье
СО
ф(Л) = у^ j е '^(x)d.x = (i|^),
- 99
§ 4] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
73
которое изометрично отображает Х2(-со, со) на & (- со, со). При этом, как
известно, оператор Р переходит в оператор умножения на rj, причем & (Р)
переходит в соответствующую область определения. Отсюда вытекает, что Р
является самосопряженным, а спектральная мера F (dr\) оператора Р
получается обратным преобразованием Фурье спектральной меры (4.7),
точнее,
СО СО
(ф | F (В)ф) = ^ ^ ^ ^ ф (х)ф (л;') егт1 (*-*') di\ dx' dx. (4.8)
- со - со В
Формально это можно записать как
СО ОО
(if>|.F(dr])i|)) = 2^ ^ ^ гИл:) Ф ОО е1ц(х~х ) dx' dxd^ =
- СО-00
= (Ч51 л) (п IЧ5) (4-9)
или же
F(dv\) = | л) (Л Мл,
что согласуется с полученным формальным спектральным разложением
оператора Р. Отметим, что в обозначениях Дирака преобразование Фурье
соответствует переходу от "базиса" {II)} к "базису" {!л)};
(Л ! ф) = ^ (Л 11) (11Ф) dl,
поскольку
<1! 5) -7S 5 ^(| - Лх - VW'г'"1-
Все сказанное в § 3 о функциях эрмитовых операторов переносится с
очевидными изменениями на функции самосопряженных операторов. Рассмотрим,
в частности, преобразование Фурье спектральной меры оператора X:
е"х = ^ ет.Е (dX). (4.10)
Непосредственно проверяется, что семейство Vt = eitx' - оо < t <; оо,
является группой унитарных операторов, т. е.
v"=l, V^VtVs, Vf = V-t. (4.11)
Можно также показать, что семейство операторов {V/}
74
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
сильно непрерывно по t, т. е. что для любого ф формула
ф^е'^ф, -co<lt<lco, (4.12)
определяет непрерывную кривую в гильбертовом пространстве Более того,
кривая (4.12) дифференцируема в вЖ тогда и только тогда, когда ф е (X);
при этом (X) и
= (4.13)
Верно и обратное утверждение, известное как теорема Стоуна.
Теорема 4.2. Всякая сильно (слабо) непрерывная группа унитарных
операторов имеет вид Vt = eitx, где X- однозначно определенный
самосопряженный оператор.
Оператор X называется инфинитезимальным оператором группы {Vt}.
Найдем группу {eitp} ъй6г(-оо, со). Используя (4.10),
(4.9), получаем
(ф | е,7Рф) = ~ ^ ^ ^ 'Ф W Ф (х>) e'7V1' (•*-•*') di\ dx' dx = (ф \ фТ,
где ф^ (х) = ф (х + /). Таким образом,
е'7Рф (х) = ф (x-\-t), -оо</"<со.
Перейдем теперь к рассмотрению симметричных, но не обязательно
самосопряженных операторов. Имеет место следующее обобщение теоремы 4.1.
Теорема 4.3. Для плотно определенного симметричного оператора X
существует, вообще говоря, не единственное разложение единицы
(спектральная мера) М (dk) такое, что
ЕД (X) с |ф: J Я2 (ф j М (dk) ф) < со j;
(ф j Хф) = ^ А (ф ( Л4 (dk) ф), фе^(Х); (4.14)
J Хф ,2 = 5 Я2 (ф! M(dk)ty), ф=<Г(Х).
Если же оператор X максимален и включение в первом соотношении заменяется
на равенство, то М (dk) определяется по X однозначно.
В качестве примера рассмотрим оператор Р+ в пространстве Хг(0, со). Мы
покажем, что его спектральная мера имеет вид
М (dr]) = | т]+) (т]+ | dr\, (4.15)
§ 4] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 75
где | г)+) - формальные собственные векторы оператора
дифференцирования !_¦ е'^х; - оо < г) < оо, которые от-V 2я
личаются от j ri) только тем, что аргумент х меняется от О до оо. Система
{|т]+)}> очевидно, удовлетворяет формальному условию полноты
СО
5 !Т]+)(Т1+Мт)=1, (4.16
- СО
но не ортогональна, так как
со
" 1^)= 2k S ^¦(T,-T,,)J;^ = i6(ri-ri')+i(ri-ri')-1- (4.17)
о
Поэтому разложение единицы (4.15) не является ортогональным. Подобные
системы называются в физике "переполненными".
Разложение единицы (4.15) можно аккуратно определить с помощью формулы
типа (4.8):
СО СО
(ф j М (В) ф) = ~ ^ ^ ^ (х) (х') е**1 dx'dx dr\. (4.18)
о о в
Продолжая функции, заданные на (0, с"), нулем на отрицательную полуось,
мы получаем естественное вложение X2 (О, оо) в Х2(-со, сю). При этом М
(dr\) является ограничением на X2 (0, сю) спектральной меры F (dr\)
оператора Р, т. е.
(ф! М (dri) ф) = (ф j F (dr\) ф),
где ф - указанное продолжение функции ф. Если ф е е (Р+), тофе# (Р),
причем Р+ф = Рф. Поэтому
(Ф | р+ф) = (ф | Рф) = ^ л (Ф iF idrt) ф) = 5 л (ФIм №) Ф)>
! ?+ФII2 = II ^Ф f = 5 Л2 (ф I F (*)) ф) = $ ц2 (Ф! М (dr\) ф),
откуда видно, что М (dr]} удовлетворяет соотношениям
(4.14), характеризующим спектральную меру оператора Р+.
76
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
§ 5. О реализации измерения
В предыдущем параграфе мы видели, что неортогональное разложение единицы
{М (5)} в ЗЖ' может возникать как ограничение ортогонального разложения
