Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Х**=з(Х*)* =Х.
Переход к сопряженному оператору аналогичен переходу к эрмитово
сопряженной матрице в конечномерном
$ 1] ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
59
случае. Предоставляем читателю проверить, что для оператора конечного
ранга
тогда U ограничен; в силу (1.5) условие изометричности можно записать в
виде
где I-единичный оператор. Унитарным называется изо-метричный оператор,
отображающий <Ж на Условие унитарности имеет вид
(Пример изометричного, но не унитарного оператора будет приведен в § III.
10.)
Оператор X называется эрмитовым, если отвечающая ему форма эрмитова:
(Хф|ф) = (ф|Хф) = (ф| Хф); ф, фео5Г, (1.7)
т. е. X = X*. Поскольку эрмитова форма однозначно определяется своими
"диагональными" значениями при ф = ф, эрмитов оператор X однозначно
определяется значениями (ф| Хф), ф ?= Поэтому для проверки какого-либо
линейного соотношения между эрмитовыми формами или операторами достаточно
убедиться в его выполнении для диагональных значений соответствующих
форм. Мы будем часто этим пользоваться. Заметим, что норма эрмитова
оператора вычисляется через диагональные значения по формуле
откуда видно, что в конечномерном случае норма эрмитова оператора равна
максимуму модулей его собственных значений. В общем случае спектр
оператора X также лежит в интервале [-|Х|, |Х|], хотя само понятие
спектра усложняется (см. § 3).
Пусть <3%"х (замкнутое) подпространство ; тогда имеет место разложение в
ортогональную сумму
Пусть И - изометричный оператор в т. е. (?/ф j i/ф) = (ф | ф); ф, фее5Г;
U*U= I,
U*U = UU* = I.
cY/n CY/* /Тч ^Y/^ q/С -oft 2"
60
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (ГЛ. II
где рЖ2 - ортогональное дополнение, к оЖл. Для всякого т)? = ф положим Рф
-фх. Тогда
Р* = Р, Р* = Р.
Обратно, всякий оператор в Ж, удовлетворяющий этим условиям, является
оператором (ортогонального) проецирования на подпространство Жг = {тр:
Ртр = ф}. Мы будем называть такие операторы проекторами.
Пусть Жх - конечномерное подпространство; тогда проекция вектора ф на Жх
запишется в виде
I'M = 2 Iе/) ("У НО* (L9)
/
где {ej} - любой ортонормированный базис в Жх. Поэтому проектор на Жх
является оператором конечного ранга вида
P-Z \еМе,\. (1.10)
/
Эта формула справедлива и для бесконечномерных подпространств, однако,
поскольку здесь возникает бесконечный ряд операторов, необходимо уточнить
понятие сходимости. Очевидно, сходимость по операторной норме здесь не
подойдет, так как норма слагаемых не стремится к нулю:
Пф)ЫН1-
Полезными оказываются два других типа сходимости. Последовательность
операторов {Хп} сходится к X сильно, если lim ||Х"ф - Хф|| = 0 для любого
вектора и
П-+сО
сходится к X слабо, если lim (<р | Х"ф) = (ф | Хф) для любых
п -*со
ср,фео%^. Для эрмитовых операторов это равносильно тому, что lim (ф|Х,гф)
= (ф| Хф), %<^Ж. Соотношение
п -*¦ со
между этими типами сходимости иллюстрируется диаграммой
сходимость сильная слабая
по норме сходимость сходимость
Пусть {ej} - произвольная ортонормированная система в Ж и Ж х -
порождаемое ею (замкнутое) подпространство. Поскольку для любого ф ряд
векторов (1.9) сходится в Ж, то ряд операторов (1.10) сходится сильно и
опре-
ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
61
деляет проектор на В частности, для любого орто-
нормированного базиса в &%Г
1 = (1.11)
i
Это является равносильной записью векторного соотношения
1Ч>) = 3>/)ЫЧ>). Ф^^Г, (1.12)
/
выражающего полноту системы {е}-}.
Используя (1.11), имеем для любого ограниченного оператора X:
X = l?\e,)(e,\}X gZ\ek)(ektj =
= 2 (1.13)
/ ь
где имеется в виду сильная сходимость. Здесь (е;-1 Хек) - матричные
элементы оператора X; эта формула дает разложение ограниченного оператора
в линейную комбинацию операторов ранга 1-"матричных единиц" {| еу) (е*
|}. Если X-оператор конечного ранга, то в подходящем базисе он имеет лишь
конечное число отличных от нуля матричных элементов.
Эрмитов оператор называется положительным (обозначается Х^О), если
(ф | Хф) Зг 0, ф е е2Г.
Очевидно, что Х*Х^0 и XX* 3=0. Запись Хз=Е означает, что X - Y 3^ 0.
Следом положительного оператора X называется величина
ТгХ = 2>,|Хг,), (1.14)
/
где {бу} - ортонормированный базис в . Ряд состоит из неотрицательных
слагаемых; как и в случае dim <; оо, его сумма не зависит от выбора
ортонормированного базиса, однако может быть бесконечной. Таким образом,
если Х^гО, то О^ТгХ^ф-оо.
62
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. И
Если X - не-положительный опердтор, то определение следа по формуле
(1.14) может оказаться некорректным; однако существует важный класс
ядерных операторов, или операторов с конечным следом, для которых
трудностей с определением следа не возникает. Мы рассмотрим этот класс в
§ 7, а пока заметим, что формула (1.14) дает корректное определение для
следа оператора конечного ранга. В самом деле, для любого базиса {^}
1] (в/1 ф) (Ф! ej) = (ф | ф), (1.15)
/
откуда
Тг | ф) (ф| = (ф | ф), (1.16)
так что
Tr(2M(%i) = 2(ivi<pA (1Л7)
