Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда, согласно (1.4), получаем формулу для следа интегрального
оператора в X2 (а, Ь) с вырожденным ядром Т (х, у):
ь
Tr Т - ^ Т (х, х) dx.
а
Из формул (1.17), (1.3) вытекают важные соотношения
Тг Т* = Тг7\ Тг ТХ = Tr XT, (1.18)
которые будут обобщены в § 7 на более широкий класс операторов.
§ 2. Состояния и измерения в квантовой теории
Оператором плотности называется положительный эрмитов оператор с
единичным следом
Тг 5 = 1. (2.1)
Примером оператора плотности является одномерный проектор (1.1). Как мы
увидим в § 7, для всякого оператора плотности имеет место спектральное
разложение
5 = 2 s, | фу) (фу |, (2.2)
I
аналогичное разложению (1.2.6) в конечномерном случае. Ряд здесь сходится
по норме операторов. Из (2.1) выте-
§2]
СОСТОЯНИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
63
кает, что собственные значения оператора плотности удовлетворяют условиям
s/sso, 2s, = i.
/
Обозначим через (r) (&%Д множество всех операторов плотности в ; если jS;|
- операторы плотности, а {pt\ - конечное распределение вероятностей, то
оператор p,-S/
удовлетворяет условиям (2.1). Таким образом, @(е%Д- выпуклое множество.
Множество (c)(&%Д играет роль множества состояний в квантовой механике. Из
(2.2) вытекает, что в бесконечномерном случае справедлив аналог
предложения 1.2.2: одномерные проекторы \|з е е%Д (Ф | ф) = 1 > обра-зуют
остов множества @(&%Д. Состояния, представимые одномерными проекторами,
называются чистыми.
Перейдем к описанию квантовых измерений. Пусть U - измеримое пространство
результатов (например, U - конечное множество или область в (Rn с сг-
алгеброй боре-левских множеств). Следуя § 1.6, назовем измерением со
значениями в U, или, короче, U-измерением, аффинное отображение S->ps(du)
выпуклого множества состояний @(&ЗГ) в множество распределений
вероятностей на U. Распределение вероятностей ps(du) интерпретируется как
распределение вероятностей результатов измерения относительно состояния
S. Далее мы установим аналог предложения 1.6.1, позволяющий описать
измерения в терминах разложений единицы в гильбертовом пространстве
Разложением единицы на U называется семейство М = = {М(В)} эрмитовых
операторов в <Ж, где В пробегает измеримые подмножества U, такое, что
1) УИ(ф) = 0, M(t/) = I;
2) М(В)^ 0, Ве(r)/((/);
3) для любого разбиения В - и В] (В)Г\Вк = ф при
/
(фк) M(B)='^iM(Bj), где ряд сходится в смысле сла-/
бой сходимости операторов (см. § 1).
Эти условия напоминают определение вероятностной меры (однако не с
числовыми, а с операторными значениями), и разложения единицы называются
иногда вероят-
64 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
ностными операторными мерами или положительными операторно-значными
мерами. Если U - конечное множество и {Mu; ue U) - набор эрмитовых
операторов, удовлетворяющих условиям (1.6.2), т. е. разложение единицы в
смысле § 1.6, то формула
М (В) = 2] Ми, В czU,
иеВ
определяет операторно-значную меру на алгебре всех подмножеств U, т. е.
разложение единицы в смысле сформулированного выше определения. Обратно,
всякое разложение единицы на конечном (J имеет такую структуру.
Частным, но весьма важным случаем являются ортог гональные разложения
единицы, удовлетворяющие кроме условий 1) -3) также требованию
М (В,) М (В2) = 0, если В1Г)В2 = Ф-
Как и в конечномерном случае (см. § 1.6), это равносильно условию
M(Bf = M(B), B<=<2^(U),
т. е. проекторно-значности меры М (du).
Аналог предложения 1.6.1 устанавливает взаимнооднозначное соответствие
между ^/-измерениями S -> ps (du) и разложениями единицы на U.
Теорема 2.1. Пусть S -> ps - U-измерение. Тогда существует (единственное)
разложение единицы М = \М (В); Веет/ (?/)} в такое, что для любого
состояния S
HS (В) = Tr SM (В), Вее/((/). (2.3)
Обратно, если М = [М (В)} - разложение единицы, то (2.3) определяет U-
измерение.
Соотношение (2.3) мы будем иногда символически записывать в виде
p.s (du) = Тг SM (du).
Заметим, что в правой части формулы (2.3) стоит след не-положительного (и
не-эрмитова) оператора, который, однако, как мы покажем в § 7, является
ядерным. Пока же заметим, что для чистого состояния
^(А = (Ф1^(В)ф),
РАЗЛОЖЕНИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
65
так как согласно (1.16) Тг | ф) (ф [ X = (ф | Хф). Измерения, отвечающие
ортогональным разложениям единицы, мы условимся называть простыми. Всякое
простое измерение является крайней точкой выпуклого множества 9Л (U) всех
17-измерений (доказательство этого совершенно такое же, как в
конечномерном случае; см. предложение 1.6.2), однако обратное, конечно,
неверно.
Наиболее интересным представляется случай, когда результатами измерений
являются вещественные числа. В этом случае простые измерения описываются
в терминах наблюдаемых, т. е. операторов в &ЗГ, которые являются аналогом
случайных величин в классической теории вероятностей. Следующий параграф
посвящен более детальному рассмотрению этой связи.
§ 3. Спектральное разложение ограниченных операторов
В конечномерном пространстве всякий эрмитов оператор X имеет спектральное
