Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
подход к квантовой теории, берущий за исходный элемент выпуклое множество
состояний, был предложен Гаддером [30] (см. также Краузе [54]).
Теорема 2.1 доказана Минковским. Бесконечномерным аналогом этого
результата является известная теорема Крейна - Мильмана. Изложение теории
выпуклости можно найти в книгах Рокафеллара [88] и Валентайна [20].
Углубленное исследование структуры выпуклых множеств, вопросов
разложимости по крайним точкам, теорию симплексов Шоке содержит
монография Алфсена [1].
По поводу спектрального разложения эрмитовых матриц, а также других
вопросов линейной алгебры см. Мальцев [66], Халмош [103].
§ 4. Со времени публикации основополагающей работы Колмогорова [51]
появилось немало курсов теории вероятностей. Доступное введение,
достаточное для целей настоящего изложения, дает учебник Гнеденко [34]. В
математической статистике вместо термина "измерение" используются термины
"стратегия" или "решающее правило". Рандомизованные стратегии были
введены создателем теории статистических решений Вальдом [21 j (см. также
Фергюсон [98], Чен-цов [128]).
§ 5. Весьма специальным типом ограничений на измерения является
рассматриваемая в классической статистике "схема неполных наблюдений",
когда доступными наблюдению считаются лишь случайные величины, измеримые
относительно ст-подалгебры Cq^(Q). Соответствующая редукция переводит
симплекс Ip (Q) в симплекс распределений вероятностей на , и
"неклассические" множества состояний при этом не возникают.
Элементарное квантовомеханическое рассмотрение экспериментов с фильтрами
Штерна - Герлаха дается в фейнмановских лекциях [97]. Другие модели со
скрытыми переменными для частицы со спином 1/2 были предложены Беллом [9]
и Кошеном и Шпеккером [52].
§ 6. Основы операторного формализма квантовой механики были изложены в
классическом труде Дирака [37]. Идеи дираковского подхода в значительной
мере пронизывают оригинальный курс Фейнмана [97], в котором, однако,
существенное место занимают конечномерные спиновые модели. Интересно
отметить, что Фейнман, по-видимому, одним из первых сделал попытку
обратить внимание вероятностников на проблемы взаимоотношений между
теорией вероятностей и квантовой механикой [96].
КОММЕНТАРИИ
53
Математически строгое изложение основ квантовой механики, опирающееся на
теорию гильбертова пространства, было предпринято фон Нейманом [101]. Ему
принадлежит концепция оператора плотности. В книге фон Неймана получила
также уточнение и развитие дираковская концепция наблюдаемой как
оператора в гильбертовом пространстве. Эта книга послужила отправным
пунктом для целого ряда попыток построения аксиоматического базиса
квантовой теории, т. е. системы простых, физически интерпретируемых
постулатов, из которых как следствие вытекал бы формализм гильбертова
пространства. В идеале эта система должна была бы играть здесь ту же
роль, что аксиоматика Колмогорова в теории вероятностей. В лекциях Макки
[65] была сформулирована система постулатов, которая приводит к
рассмотрению "логик высказываний", обобщающих булевы а-алгебры теории
вероятностей. Задача тогда сводится к математической характеризации
логики проекторов в гильбертовом пространстве. Эта проблема обсуждалась
многими авторами и получила решение в работе Пирона [80]. Подробному
изложению оснований квантовой механики, использующему "логики
высказываний", посвящена книга Яуха [134], а математические проблемы
этого подхода рассматриваются в книге Варадарайана [22]. Хороший обзор
попыток аксиоматизации квантовой механики дается в статье Вайтмана [19].
К сожалению, в отличие от булевых алгебр, которые органически вписываются
в классическое исчисление вероятностей, "логики высказываний"
представляют собой скорее объект самостоятельного исследования, нежели
рабочий аппарат физической теории, которая имеет дело непосредственно с
операторами. К тому же из постулатов Макки лишь исходные аксиомы 1 -6
имеют бесспорное вероятностное толкование (по существу они очень близки к
нашему определению статистической модели). В получающемся из них
множестве "вопросов" (тестов) X затем просто постулируется существование
ортогонального дополнения, что превращает X в "логику высказываний".
Здесь фактически уже заложено априорное принятие традиционной концепции
наблюдаемой. Удовлетворительное рассмотрение в рамках этого подхода
вопросов, составляющих содержание настоящей книги, представляется весьма
затруднительным или же вообще неосуществимым.
Общие разложения единицы (называемые также положительными
операторнозначными мерами, в отличие от проекторнозначных мер -
ортогональных разложений единицы) были введены в теорию квантового
измерения Дэвисом и Льюисом [41] и Холево [ИЗ] - [116]. Дэвис и Льюис
рассматривали последовательные измерения и показали, что статистика
последовательности квантовых измерений допускает простое описание в
терминах, вообще говоря, неортогонального разложения единицы на
