Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
00
произведением (с\с') = ^скск. Соответствующее отображе-
- оо
ние дается формулой
Л
с* = тй=- \ f(x)eikxdx, ? = 0, ±1,...,
У 2 Я *)
- л
а его изометричность составляет содержание формулы Парсеваля. Различие
между изоморфными пространствами несущественно с точки зрения общей
теории гильбертовых пространств; всякое утверждение для одного из
изоморфных пространств может быть в принципе переведено на язык другого.
Однако фактически такой перевод может быть очень сложным; кроме того,
удачный выбор конкретного гильбертова пространства может существенно
упростить изучение того или иного объекта. Например, при изучении
оператора дифференцирования в X2 (-я, я) выгодно перейти к изоморфному
пространству коэффициентов Фурье I2 и т. п.
Принятое выше соглашение о линейности скалярного произведения по второму
аргументу связано с удобной символикой для обозначения векторов
гильбертова пространства, введенной Дираком. Эта символика широко
используется физиками, и мы также будем ее применять.
Согласно фундаментальной лемме Рисса - Фреше, всякий непрерывный
(относительно нормы || ¦ |) линейный функционал на <Ж имеет вид <р -v (ф
J <р), где ф - некоторый вектор из Ж. Поэтому всякий вектор ф можно
рассматривать не только как элемент самого пространства Ж, но и как
элемент сопряженного пространства Ж* непрерывных линейных функционалов на
Ж. Условимся обозначать вектор ф, рассматриваемый как элемент Ж, через |
ф), а тот же ф, рассматриваемый как элемент сопряженного пространства Ж*,
-через (ф[. Отображение |ф)-"-(ф| взаимно-однозначно и антилинейно
переводит Ж в Ж* (антилинейность означает, что коэффициенты линейной
комбинации меняются на комплексно
§ lj ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
67
сопряженные). В конечномерном случае | гр) соответствует Г 4*1 "
вектору-столбцу ф2 , а (гр | - вектору-строке [ф^ ф2, ...].
При таком соглашении скалярное произведение трактуется как "внутреннее"
произведение (ф | на J гр) и формально получается графическим соединением
символов (ф | и ]ф).
Удобство символики Дирака заключается в возможности наглядной записи
операторов в виде "внешнего произведения". Напомним, что в конечномерном
случае произведение столбца на строку той же размерности дает
квадратную матрицу, т. е. оператор. Условимся понимать символ ; ф|) (ф21
как оператор, отображающий вектор | ф) в вектор j фх) (фа|ф),
символ которого является резуль-
татом графического соединения исходных символов. Операторы вида | ф])
(ф21 являются операторами ранга 1, отобра- ' жающими <Ж' на одномерное
подпространство. В частности, проектор на единичный вектор ф записывается
в виде
^ = |ф)(ф|. (1.1)
Конечные линейные комбинации (или, что то же, конечные суммы) операторов
ранга 1
7,= 2|ф/)(^| (1-2)
У
описывают операторы конечного ранга в -3V Любая конечная совокупность
операторов конечного ранга может рассматриваться как действующая в
конечномерном подпространстве Ж с= ; именно, в качестве Ж можно взять
подпространство, порожденное всеми векторами |фу), | фу) из записи (1.2)
каждого из этих операторов. Поэтому алгебра конечной совокупности
операторов конечного ранга сводится к матричной алгебре. Произведение
операторов конечного ранга получается графическим соединением
соответствующих символов, например
р I Фу) Му I]' [2 I Фа) (Фа |J = S I Ч>/) My I Фа) (ф* I- (1-3)
В пространстве X2 (а, Ь) операторы конечного ранга являются интегральными
операторами с вырожденными ядрами; так, оператору (1.2) соответствует
ядро
Т(х', х) = 2 Фу (*') (*)• (1-4)
58
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ аппарат КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. и
Ясно, что далеко не все представляющие интерес операторы попадают в этот
класс. Одна из трудностей бесконечномерного случая состоит в том, что
интересующие нас операторы могут быть не определены (и неопределяемы) на
всем пространстве . Примером может служить оператор дифференцирования в
(а, Ь). Однако существует важный класс ограниченных операторов,
естественной областью определения которых является все пространство.
Оператор X называется ограниченным, если
I Хф I ^ с j ф!
для некоторой постоянной с и всех i|)Ge5f. Геометрически это означает,
что X переводит ограниченные подмножества пространства в ограниченные
подмножества. Наименьшее значение постоянной с, равное
"у. I*N |Х|-^,ТТГ'
называется нормой оператора X.
Всякому ограниченному оператору X отвечает полуторалинейная (линейная по
ф, антилинейная по ф) форма на я%Г:
X (ф, ф) = (ф|Хф).
Это соотношение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между
ограниченными операторами в и полуторалинейными формами, непрерывными по
паре переменных ф, ife&T. Рассмотрим форму X* (ф, ф) = (ф;Хф). Отвечающий
ей оператор называется (эрмитово) сопряженным к X и обозначается X*, так
что
(Х*ф | ф) = (ф | Хф); ф, фееЗГ. (1.5)
Сопряжение Х->Х* является антилинейным отображением, меняющим порядок
сомножителей в произведении
(ХУ)* = У*Х*
и сохраняющим норму
|Х| = [Х*|. (1.6)
Кроме того,
