Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 30

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 103 >> Следующая

фиксированном состоянии S0. В классической статистике это соответствует
рандомизированной процедуре, в которой вспомогательная система может
рассматриваться как "рулетка", выдающая случайные числа в соответствии с
законом распределения S0. Роль <Ж0 в квантовом случае будет более ясной в
дальнейшем, когда мы рассмотрим некоторые примеры (см. § II 1.7).
§ 6. Соотношения неопределенностей и совместная измеримость
В квантовой теории наибольший интерес представляют измерения с
вещественными значениями. Пусть М: S -*¦ ps(dx) такое измерение; тогда
ps(dx) есть распределение вероятностей на вещественной прямой [R.
Важнейшими характеристиками такого распределения являются среднее и
дисперсия
Es{M} = $xps(d;t), D5{M} = $(x-?s{M})>5(dx). (6.1)
Эти величины определены и конечны, во всяком случае, если ps имеет
конечный второй момент. В этом случае мы скажем, что измерение М имеет
конечный второй момент относительно состояния S.
Наблюдаемой в квантовой механике называется самосопряженный оператор в
<Ж; мы, однако, будем применять этот термин к произвольному плотно
определенному симметричному оператору. Согласно спектральным теоремам,
соотношение X = ^xM(dx) устанавливает соответствие между наблюдаемыми и
измерениями. Средним значением ES(X) и дисперсией D5(X) наблюдаемой X мы
будем называть величины (6.1), вычисленные по соответствующему измерению
M(dx). Из соотношений (4.5), (4.6),
80
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
(4.14) для чистого состояния 5^, получаем*)
Е5^(Х) = (ф|Хф),
D^(X) = : (Х-?5(Х))ф|2 = Хф||2-(?5(Х))2
при условии, что ф(X).
Если X - ограниченная наблюдаемая, то соответствующее простое
измерение имеет конечный второй момент
относительно любого состояния 5, причем
Es(X) = Tr5X, (6.3)
Ds(X) = Tr 5 (X - ?s(X))a. (6.4)
Вообще, для ограниченной функции /
$/(x)Mdx)-TrS/(X). (6-5)
Эти формулы будут установлены в следующем параграфе.
Рассмотрим пару наблюдаемых Х2 и Х2 и состояние Зф такое, что г|)б # (Xj)
f| (Ха). Для любого вещественного с
0 < I (X, - Е* (X,)) ф - ic (Ха - Е5 (Ха)) ф f =
= (^i) + 2с Im (Ххф | Хаф)+сЮ5+(Ха), (6.6)
откуда
D^(X1)-D^(Xa)^ | Im (Х2ф | Х,ф) I", (6.7)
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда для некоторого с
[(X, - Es (Хг)) + с (Ха - Es (Ха))] ф = 0. (6.8)
В предположении законности преобразований нера-
венство (6.7) можно переписать в виде
Ds(X1).D5(Xa)^||Es(i[X1, XaJ) I*. (6.9
где
[Х1( Х^-Х^-ХД, (6.10)
- коммутатор операторов X,, Ха. Это неравенство называется соотношением
неопределенностей. В§9
*) Мы условимся в записи операторов, кратных единичному, опускать иногда
символ 1, так что X - Es(ДС) = AT - ES(X) • I и т. п.
СОВМЕСТНАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ
81
мы обобщим его на произвольные состояния и измерения с конечным вторым
моментом.
Остановимся на интерпретации соотношения (6.9). Иногда можно встретить
утверждение, что соотношение неопределенностей устанавливает ограничение
на точность "совместного измерения" наблюдаемых Хх, Х2. Для того чтобы
разобраться в справедливости подобной интерпретации, необходимо придать
точный смысл понятию "совместной измеримости".
В реальных экспериментах довольно часто приходится производить совместное
измерение нескольких величин. В таких случаях результатом измерения
является набор вещественных чисел х1г ... , хп, могущий принимать
значения в некоторой области Л "-мерного пространства. Таким образом,
математически совместные измерения должны описываться разложениями
единицы М (dxl ... dxn) на Л cz Rn.
Обычно говорят об "одновременном" измерении нескольких величин. На самом
деле моменты получения данных лу, ... , хп не играют здесь существенной
роли. Измерение может быть одновременным или последовательным, это,
конечно, отразится на статистике измерения, но в любом случае она будет
описываться некоторым аффинным отображением S (dxl... dxn). Важно лишь
то, что все данные получены в одном эксперименте, отнесенном к
определенному исходному состоянию S.
Рассмотрим вещественные измерения M1(dx1),
M2(dx2), x2e[R2. Мы скажем, что эти измерения совместимы, если существует
измерение M(dxydx2) на Rx X X |R2 = R2 такое, что
Ml (dxх) = ? М (dxt dx2), М2 (dx2) = ^ М (dxx dx2),
R, Rx
точнее, Л4Х (Sx) = M (Sx xiR2), бх e a/ (RJ, и аналогично для M2. По
аналогии с теорией вероятностей можно сказать, что Л1Х, Л12 являются
маргинальными измерениями для измерения М.
Рассмотрим теперь вопрос о совместной измеримости наблюдаемых,
определяемых самосопряженными операторами
X] = J XjE, (dxA-, ;-=1, 2.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
Назовем их совместимыми (или совместно измеримыми), если совместимы
измерения, описываемые их спектральными мерами Ej (dxj).
Предложение 6.1. Наблюдаемые Хх, Х2 совместно измеримы тогда и только
тогда, когда их спектральные меры Ег, Е2 коммутируют, т. е. [?\ (Bj),
В2(В2)] = О для любых Bj oyg (IRy), / = 1, 2.
Доказательство. Для доказательства достаточности определим ортогональное
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed