Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4] разложение неограниченных операторов 69
тора умножения на х в дираковских обозначениях имеет вид
Q = jEI?)(&ld& (3-14)
а
и выглядит как непосредственный континуальный аналог спектрального
разложения с дискретным спектром. Фактически (3.14) означает, что ь
(ijj j QtJj) = jj ? (ф I) (? j ф) d\, ф <= Ж,
a
а это то же самое, что (3.11). Таким образом, мы получаем связь между
(3.10) и (3.14), полагая
Е(<%)=|Е) а\ di.
Конечно, это соотношение нельзя понимать буквально, так как проекторно-
значная мера Е (di) не является дифференцируемой (не имеет плотности)
относительно меры Лебега di. Однако скалярные меры (di) = (ф | Е (di) ф)
уже дифференцируемы относительно di, причем
^ (di) = | ф (I) |а d\ = (ф 11) (? | ф) dl.
Наглядность формализма Дирака дает определенные методические преимущества
в изложении квантовой теории. По существу можно пользоваться этим
формализмом в тех рамках, в которых он эквивалентен спектральному
разложению.
§ 4. Спектральное разложение неограниченных операторов
Для квантовой механики важно обобщение спектральной теоремы на
неограниченные операторы. Неограниченные операторы (за несущественным
исключением) не могут быть определены на всем пространстве Ж. Задание
неограниченного оператора всегда подразумевает и описание области его
определения. Пусть X -оператор с областью определения & (X). Он
называется симметричным, если соответствующая полуторалинейная форма
эрмитова на (X):
(Хф | ф) = (ф I Хф); ф, фе^(Х). (4.1)
70 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. И
Наиболее важным, однако, является понятие самосопряженного оператора.
Пусть X - оператор с плотной .бластью определения S0 (X). Обозначим через
^ (X*) множество векторов <р, для которых выражение (ф | Хгр>) является
непрерывным функционалом от ф Тогда по лемме Рисса - Фреше (ср Хф) = (ф*
ф), где ф* - некоторый вектор, определяемый однозначно, так как ф
пробегает плотное подмножество а/Г. Обозначим X* оператор ф->-ф* с
областью определения ?$ (X*). Он называется сопряженным к X. Таким
образом,
(Х*ф|ф) = (ф Хф); фе^(Х), фе^(Х*).
3 частности, X - симметричный, если X Е X*, т. е. ^(X)s^(X*) и Хф = Х*ф,
фе^(Х).
Оператор X с плотной областью определения называется амосопряженным, если
Х = Х*, т. ё. J?(X*) = J?" (X) и выполняется равенство (4 1).
Иногда симметричный оператор X можно расширить до самосопряженного. Если
это можно сделать и притом единственным способом, то X называется
существенно самосопряженным. Симметричный оператор, не имеющий
симметричных расширений, называется максимальным.
В качестве примера рассмотрим оператор Р+ = г1 в пространстве (0, со) с
областью определения
I
ах<Соо>.
[ 0 1 иЛ )
Тогда
00
(Ф | Р+ф) = г1 j ф (*) ~ ф (*) dx = г*ф (0) ф (0) -
и
оо
"l'-11Ш ф М У (*>dx = (р+ф I ^)> <р?|г(/)+)' (4-2)
О
где Я+ = г1 - с областью определения
&{Р+) = \ ф: ф(0) = 0, ^|Аф(^)
§ 4] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
71
Таким образом, Р+аР%, Р+фР+. Оператор Я+ симметричен, но Р\ не
симметричен, так как для него слагаемое г1ф(0)г()(0) в формуле типа (4.2)
уже будет отлично от нуля. Можно показать, что Р+ максимален.
С другой стороны, оператор P = в ^2(-оо, оо) с областью определения
3(Р) = у?: J | А ф (х) 2 dx< оо|, (4.3)
I - СО '
как будет показано ниже, является самосопряженным. Примером существенно
самосопряженного оператора может служить сужение этого оператора на
финитные бесконечно дифференцируемые функции.
Рассмотрим теперь интеграл типа (3.6), где Е (dk) - произвольное
ортогональное разложение единицы на прямой. Теперь нельзя ожидать, чтобы
интеграл в правой части (3.8) сходился для всех ф е , однако он заведомо
сходится, если ф принадлежит подпространству
3 - 1\р: § Я2 (ф | Е (dk) ф) < ooi. (4.4)
Можно показать, что 3 плотно в "Ж и эрмитова форма (3.7) определяет
самосопряженный оператор X с 3 (X) = = 3, так что
(ф| Хф) = $ Я (ф | Е (dk) ф), фе^, (4.5) I Хф р = $ Я2 (ф j ? (с(Я) ф),
фе^. (4.6)
Последнее равенство показывает, почему должно быть 3(Х) = 3.
Теорема 4.1 (спектральная теорема для самосопряженных операторов).
Соотношения (4.4), (4.5) устанавливают взаимно-однозначное соответствие
между самосопряженными операторами и ортогональными разложениями единицы
в (спектральными мерами).
Рассмотрим (неограниченный) оператор Q умножения на х в -оо, оо) с
областью определения
|ф: § х21 ф (х) |2 dx < ooj. Для любых ф, ф е 3 (Q) вы-
А
7 2 математический аппарат квантовой ТЕОРИИ [ГЛ. II
полняется (ф i <2ф) = хср (х) (х) dx = (Qq>; ф), так что Q
симметричен. Для доказательства самосопряженности возьмем ф е (Q*); тогда
^xy)\pdx является непрерывным функционалом от ф и по лемме Рисса - Фреше
$ лффсД = = ^hipdx, где ^\h.(x)\2 dx <1со. Отсюда h = x ф и ^ j л:ф (х)
j2 dx < оо, так что ф е (0 и <%> (Q*) = (Q). Рас-
суждая как в случае конечного интервала в § 3, находим его спектральную
меру
Е(В) = \в{х)\ Berf(R), (4.7)
или, 4ормально,
Е (dl) = !?)(?! d\,.
где ||); - оо<| <оо, - формальные собственные векторы оператора
