Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
разложение единицы на RtX[R2, полагая
?(Д1ХД2) = Д1(Д1)-Д2(Д2)
и продолжая Е на e/fRjXRj) стандартным образом.
Тогда Е] являются маргинальными измерениями для Е.
Докажем необходимость. Пусть существует измерение М, для которого Ех и Е2
являются маргинальными измерениями. Нам надо доказать, что для любых В1;
В2 е e^_(R) проекторы Ех (Bt) и Е.г (Д2) коммутируют. Пусть Bj -
дополнение множества By; /=1, 2; тогда мы можем изобразить следующую
таблицу:
Ех (Вх) = М{Вхх В2) + М(Вхх В2)
"t "Ь "Ь _
Е1(В1) = М(В1хВ2) + М(В1хВ2) (6.11)
II II ||_
i = Е2(В2) Е2(В2),
где Е1(В1)Е1(В1) = Е2(В2)Е2(В2) - 0. Переписывая это соотношение в виде
[М (Вх хВ2) + М (Bj х В2)\ ¦ [М (Вх х В2) + М (Вх х В2)] =
= \М (В, хВ2) + М{Вхх В2)] • [М (В, х В2) + М (Вх х В2)] = 0
и применяя несколько раз аналог леммы 1.6.3 для гильбертова пространства,
получаем, что произведение любых двух из операторов М(ВххВ2), М(ВххВ2), М
(В, х В2), М (В2 х В2) равно нулю. Отсюда Ех (В^ В2 (В2) = = М (Bj X В2)2
= Е2 (В2) Ел (BJ, и предложение доказано.
Аналогичный результат справедлив для любого конечного набора наблюдаемых
Ху = $ Яу? (dAy); /=1,...,л.
Если Ху совместно измеримы, то они могут быть пред-
СОВМЕСТНАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ
83
ставлены через измерение Е (dx1... dxn) - ]^[ Е/ (dXj) по
/
формуле
X/ = \...\kjE(dk1...dK), /= 1.п. (6.12)
Обратно, для всякого простого измерения формула (6.12) определяет набор
совместно измеримых наблюдаемых.
Можно показать, что ограниченные наблюдаемые совместимы тогда и только
тогда, когда соответствующие операторы коммутируют, т. е. [Ху, Xft] = 0.
Для неограниченных операторов коммутатор может быть не определен;
говорят, что они коммутируют, если коммутируют их спектральные меры. Это
равносильно тому, что коммутируют порождаемые ими унитарные группы, т. е.
[eliXi, e'sX*] = 0.
Формула (6.12) является обобщением спектрального разложения на
коммутирующие семейства самосопряженных операторов. Основываясь на ней,
можно определить функцию f от коммутирующих операторов как
!(Хг х") = $...$/(&!..........%n)E(d%x...dK).
Возвращаясь к соотношению неопределенностей, заметим, что если правая
часть отлична от нуля, то Хг и Х2 не коммутируют и, следовательно, вообще
совместно не измеримы. Поэтому нельзя говорить, что соотношения
(6.9) устанавливают границы для точности совместного измерения X, и Х2.
Для того чтобы дать правильную интерпретацию, рассмотрим два набора,
состоящие из большого числа экземпляров одного и того же объекта,
приготовленного в одном и том же состоянии S. Тогда, если в первом наборе
измеряется наблюдаемая X,, а во втором - наблюдаемая Х2, то произведение
дисперсий таких, независимо друг от друга произведенных измерений будет
удовлетворять соотношению (6.9). Или иначе, предположим, что из самого
описания процедуры приготовления известна одна из дисперсий, скажем, ^(Х^
(например, однородный пучок частиц пропускается через отверстие
определенного размера). Тогда наблюденное значение Ds(X2) будет
удовлетворять соотношению (6.9). Обе эти интерпретации весьма близки друг
к другу, так как
84
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
определение величины Ds^) по первому набору можно рассматривать как
предварительное определение характеристики приготовленного состояния.
Тем не менее, как мы увидим, соотношение неопределенностей имеет
отношение и к точности совместного измерения, хотя эта связь не является
столь прямолинейной, как это часто предполагается.
§ 7. Ядерные операторы
и операторы Гильберта - Шмидта*)
Рассмотрим ограниченные операторы, диагональные в данном фиксированном
базисе {ef}:
Х=^х,\е/)(е/\, (7-1)
/
где ряд сходится сильно. Любому свойству такого оператора X отвечает
некоторое свойство последовательности \Xj\ его собственных значений.
Норма оператора X равна
II ^ I= sup | Xj |; (7.2)
/
эрмитовость X соответствует вещественности, а положительность-
неотрицательности значений лу. Любому классическому пространству
последовательностей соответствует некоторый класс диагональных
операторов. Пространство всех диагональных операторов с операторной
нормой изоморфно пространству с ограниченных последовательностей с нормой
(7.2). При этом операторам конечного ранга соответствуют
последовательности с конечным числом ненулевых значений лу. Заметим, что
пополнение этого множества по норме (7.2) дает не все с, а
подпространство с0 последовательностей {лу}, стремящихся к нулю. Поэтому
пополнение по операторной норме множества диагональных операторов
конечного ранга дает не все ограниченные операторы вида (7.1), а лишь
операторы, у которых последовательность собственных значений стремится к
нулю.
*) Материал, излагаемый в §§ 7 -10 будет существенно использован только в
гл. V, VI.
ОПЕРАТОРЫ ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА И ЯДЕРНЫЕ
85
Другими важными пространствами последовательностей являются пространства
I1 и /2, которым отвечают пространства диагональных операторов с нормами
соответственно
|ХЬ = 21*/1 = Тг1Х|.
