Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
произведении пространств результатов отдельных измерений. Книга Дэвиса
[39] содержит обзор результатов об "открытых" квантовых системах и
квантовых случайных процессах, в которых существенную роль играет
изменение состояния после измерения. Изложение в § 6 следует работам
[113] - [116].
Рассмотрение квантовых систем с бесконечным числом степеней свободы
(полей), а также систем с так называемыми правилами суперотбора приводит
к существенному алгебраическому обобщению квантовой механики (см.,
например, Сигал [91], Боголюбов, Логунов, Тодоров [14]), в котором
состояния определяются как положитель-
54
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
ные линейные функционалы на алгебре "наблюдаемых". Большая часть
излагаемой здесь теории измерения также допускает соответствующее
алгебраическое обобщение.
§ 7. Утверждение о невозможности введения скрытых переменных содержится в
книге фон Неймана [101]. Яух [134] усовершенствовал рассуждения фон
Неймана, пользуясь терминологией "логик высказываний". Наиболее
интересный результат в этом направлении получили Кошен и Шпеккер [52],
доказавшие, что "квантовая логика", т. е. логика проекторов в
гильбертовом пространстве размерности больше 2, не допускает подходящего
вложения в булеву алгебру (для размерности 2 такое вложение
конструируется явно). Эта теорема интерпретируется авторами как
доказательство невозможности введения скрытых переменных.
Однако эти, казалось бы, безупречные результаты не удовлетворили
защитников "скрытых переменных", которые продолжали настаивать на своем.
Значительное прояснение ситуации было достигнуто в работе Белла [9]. Он
построил модель со скрытыми переменными для частицы со спином V3 и
продемонстрировал на ней далеко не очевидные физические следствия
"естественных" математических предпосылок, которые безоговорочно
принимались сторонниками "квантовых логик". Дальнейшее исследование
привело к выделению интересного класса "локальных" теорий, статистические
предсказания которых не могут быть тождественны предсказаниям квантовой
теории (таким образом, конструкция теоремы 7.1 дает "нелокальную"
теорию). Живое обсуждение всех этих вопросов можно найти в обзоре
Вайтмана [19]. Белинфанте [8] проанализировал большое число моделей и
разделил их на три категории. Согласно этой классификации,
"неосуществимые" теории фон Неймана - Яуха и Кошена - Шпеккера попадают в
"нулевой класс". "Первый класс" образуют непротиворечивые теории со
скрытыми переменными, статистические предсказания которых тождественны
предсказаниям квантовой теории. В книге Белинфанте вскрываются физические
различия между теориями нулевого и первого классов и объясняется, почему
существующие "доказательства невозможности" не являются решающим
аргументом против скрытых переменных. Представителем теории первого
класса является и предлагаемая здесь конструкция. Наконец, ко второму
классу относятся физические модели, приводящие к предсказаниям,
отличающимся от квантовой теории.
Подробное обсуждение аналогий между квантовой механикой и некоторыми
аспектами поведения живых организмов можно найти в сборнике выступлений
Бора [16] (см. также Бом [15]). Знаменитый "принцип дополнительности"
Бора проливает свет на природу принципиальных ограничений в экспериментах
с микрообъектами.
Глава II
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
§ 1. Операторы в гильбертовом пространстве
В предыдущей главе статистическая модель квантовой теории была введена в
ее простейшем конечномерном матричном варианте. Однако для описания
многих наиболее интересных свойств квантовых объектов необходим
бесконечномерный аналог этой модели, в котором роль матриц играют
операторы в гильбертовом пространстве.
Гильбертово пространство - это комплексное линейное пространство вЙГ
(векторы которого будут обозначаться буквами ф, <р, ...) со скалярным
произведением (ф! г]^)т полное относительно метрики ||<р -ф| = = - Ф I
Ф - Ф)- Мы будем иметь дело только с сепа-
рабельными пространствами, в которых ортонормиро-ванный базис является
счетным (или конечным). По некоторым соображениям, которые станут ясными
из дальнейшего, нам удобно будет считать скалярное произведение (ф j -ф)
линейным по второму аргументу ф. Типичным примером такого гильбертова
пространства является Хг (а, Ь)-пространство комплексных функций ф(х),
квадратично-интегрируемых по Лебегу на интервале (а, Ь), со скалярным
произведением
ь_____
(ф I Ф) = \ Ф (*) Ф (х) dx.
а
Отображение <р->ф гильбертова пространства в гильбертово пространство
называется изометричным, если
(ф IФ) = (Ф I ф); Ф>
Поскольку при этом |!ф|| = |ф|, то изометричное отображение обязательно
взаимно-однозначно. Если существует
56
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
изометричное отображение Ж на Ж, то пространства Ж и Ж и называются
изоморфными. Например, пространство X2 (- я, я) изоморфно пространству I2
квадратично-
суммируемых последовательностей с = {ск] со скалярным
