Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
разложением единицы.
Доказательство. Первое утверждение доказывается точно так же, как в
классическом случае. Если ?/ = {0, 1}, то всякое разложение единицы имеет
вид M0 -f- Mi = I и поэтому однозначно определяется оператором Мг = Х,
который удовлетворяет единственному условию 0==sX==?l. Из § 2 известно,
что крайними точками этого множество являются проекторы и только они.
Таким образом, для крайних точек М0 и Мх являются проекте-
42
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЩЛ I
рами, т. е. \М0, Мх\ - ортогональное разложение единицы.
Пусть теперь = {1, d\, d > 2. Рассмотрим сна-
чала случай п == сНгпеЗГ = 2. Для наглядности можно считать, что матрицы
плотности Se@2 описывают состояния частицы со спином 1/2 (см. § 5). Тогда
состояние, приготовленное фильтром с направлением 0 = [0Х, 02, 03],
задается матрицей плотности (2.9). В частности, матрица плотности
описывает состояние, приготовленное фильтром, направление которого лежит
в плоскости 0^ 02 и составляет угол а с осью 0Х. Рассмотрим d на-
образует неортогональное разложение единицы; в самом деле, Мц^О, а тот
факт, что = вытекает из
(6.7) и (6.6).
Покажем, что при d - 3 разложение единицы (6.8) является крайней точкой.
В самом деле, если
Mu = p0M°u-t-p1M,u; ро, р 1 > О,
то М°и^ р"'Ми, Mu^pl'Mu, откуда == Я/Иф"ф;. Условие нормировки 2 Mi = I
вместе с (6.6) приводит к ра-
(6.6)
правлений aa - 2nu/d, и - 1, d, делящих плоскость х, у Had ранных
углов(рис. 6), так что
й
и= 1
Тогда набор матриц
Рис. 6.
Ми = ~^1 (фи = ф"в) (6.8)
U
и
венствам
3 .2ли 3
$ в) СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 43
Первое означает, что Уи являются сторонами треугольника, все углы
которого равны 2я/3, так что У все равны между собой, а в силу второго
равенства У = 2/3. Таким образом, Ми = Ми - Ма и {/И"} является крайней
точкой.
Докажем теперь, что для любой размерности и
любого существует неортогональное разложение
единицы, являющееся крайней точкой множества ЭЛ (U). Разложим л-мернсе
пространство п в ортогональную сумму двумерного пространства и его
ортогонального дополнения о5Г"_2 и обозначим через Е проектор на п-г-
Построим в оЖ'г неортогональное разложение единицы {Ми\ и- 1, 2, 3} по
формуле (6.8) с d = 3. Тогда набор операторов
М^ЛДфО, М2 = М20О, М3 = М3(c)?; Ми = 0, и> 3,
образует неортогональное разложение единицы в еЖ". Легко проверить, что
оно является крайней точкой множества ЭЛ (U).
Хотя приведенная в доказательстве конструкция может показаться
искусственной, эти рассуждения показывают, что, в отличие от классической
статистики, где детерминированные измерения образуют остов множества
всевозможных измерений, статистическое описание эксперимента в квантовой
теории не дает решающих оснований ограничиться ортогональными
разложениями единицы. На самом деле мы далее увидим, что существует целый
ряд физических измерений, которые естественно описываются
неортогональными разложениями единицы. В рамках этой новой концепции
получают простое разрешение некоторые "парадоксы" квантовой теории,
связанные с измерениями таких физических величин, как время, угол, фаза,
с совместными измерениями некоммутирующих наблюдаемых - координаты и
импульса и т. п. Неортогональные разложения единицы дают адекватное
математическое описание "косвенных" и последовательных измерений (см.
комментарии к гл. II и III).
Основываясь на сказанном выше, мы назовем статистической моделью
квантовой механики модель, в которой состояния описываются всевозможными
матрицами плотности S, а измерения - всевозможными аффинными отобра-
44
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
жениями S-*-p,s матриц плотности в распределения вероятностей на
пространстве результатов измерения.
В связи с этим определением важно еще раз подчеркнуть, что статистическая
модель и основные ее элементы - состояния и измерения - являются
математическими объектами. То обстоятельство, что некоторая совокупность
результатов реальных экспериментов адекватно описывается данной
статистической моделью (@, ЭЛ), означает, что существует вложение
надлежащим образом обработанных экспериментальных данных в эту модель, т.
е. каждой реальной процедуре приготовления сопоставляется некоторое
теоретическое состояние Se@, а каждому реальному измерению- теоретическое
измерение М е ЗЛ. Мы дали здесь абстрактное описание статистической
модели квантовой теории; в последующих главах будут установлены правила
соответствия, по которым физическим величинам сопоставляются те или иные
математические объекты. Эти правила (основанные главным образом на идее
симметрии и ковариантности) позволяют установить связь между некоторыми
теоретическими состояниями, т. е. матрицами плотности, и их физическими
прототипами и между теоретическими измерениями, т. е. разложениями
единицы, и реальными измерениями физических величин.
Было бы, однако, наивно ожидать, что всякому теоретическому квантовому
состоянию, т. е. произвольно взятой матрице плотности, должна
