Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 16

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 103 >> Следующая

некоторые слагаемые в другую часть равенства, мы можем считать, что и
(причем хотя бы одно из tt
и t'k строго положительно). Беря след от получившегося равенства и
учитывая, что TrS/ = TrS*=l, получим 2] Ь = 2] t'k = т > 0. Введем
распределения вероятностей
/ к ' '
Pj - tj/x, p'k - t'klx. Тогда нам достаточно показать, что из 3ijP/Sj =
2tPkSk следует J] р,р (Sj) = У) p*p (S*), а это
/ к / к
вытекает из аффинности функционала р (S).
По построению р (Т) является вещественным линейным функционалом на X.
Всякий такой функционал от Т - = очевидно, имеет вид
МЛ = 2 bktnjk = Тг ТЛ4,
где M = [mjk\, причем mjk = mk], так что М - М*.
Лемма 6.2. Пусть X -эрмитова матрица; XSsO тогда и только тогда, когда
IrSX^O для всех S &-i 2П.
Доказательство. Хз=0 означает, что ф*АфЭгО для всех (единичных) векторов
ф, т. е. TrS^AssO. Остается воспользоваться тем, что матрицы образуют
остов выпуклого множества (см. § 2).
Доказательство предложения. Согласно лемме 6.1, ps(и) = ТгSMU, где {Ма\ -
некоторый набор эрмитовых матриц. Из леммы 6.2 и неотрицательности
функций ps(") вытекает Л4и3г0. Наконец, для любого S 2 Ps (") = Тг 5 / 2
Ми\ = 1, откуда ^]/Vf" = I В самом
и \ и / и
деле, Тг S Ма - I j = 0 для всех S е @л, так что по
лемме 6.2 2 Afu -I 3=0 и одновременно ?MU - 1=^0.
и и
Предложение доказано.
Набор {Ми\ формально аналогичен набору переходных вероятностей {Л4ш(м)},
характеризовавших измерение в классической статистической модели. Там
особую роль играли детерминированные измерения. Аналог условия
детерминированности (4.3) в некоммутативном случае имеет вид
МЬ = МЦ, us=U, (6.3)
40
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
Но это означает, что Ми для любого и является ортогональным проектором.
Покажем, что (6.3) влечет равенство
MaMv = 0, и Ф-v, (6.4)
т. е. Ми, Mv являются проекторами на взаимно-ортогональные
подпространства.
Лемма 6.3. Если А, В, С - эрмитовы матрицы, 0 ^ гс В Ф С и С А = 0, то ВА
= 0.
Доказательство. Из СА = 0 следует Л*СЛ = 0, так что 0 = А*СА ^ А* В А ^
0, откуда А*ВА = 0. Это можно записать как (]/В А)* (]/В Л) = 0, где У В
- положительный квадратный корень из матрицы В 0. Отсюда УВА = 0 и ВЛ =
0.
Чтобы вывести (6.4), запишем (6.3) в виде (/- М")Ми = = 0 и заметим, что
в силу (6.2) 0 Mv "ё I - Ми при ифо. Остается применить лемму с А = Ми, В
= Mv, С=1-М".
Таким образом, формальным аналогом классических детерминированных
измерений в квантовой теории являются ортогональные разложения единицы
{Еа}:
ЕаЕъ = 8uvEa, : 2 Ей = I
иеи
(6 uV - символ Кронекера). Соответствующие квантовые измерения мы
называем простыми. Подобно тому как классическое детерминированное
измерение задает разбиение фазового пространства Q на непересекающиеся
области Q(u), простое измерение задает разложение рассматриваемого
унитарного векторного пространства <Ж в сумму ортогональных пространств
e%Ta = Еи {<Ж). Пусть возможными результатами простого измерения [Ех)
является конечный набор вещественных чисел \х], тогда этому измерению
сопоставляется эрмитова матрица (one-, ратор)
Х^^хЕх. (6.5)
X
Эта формула устанавливает взаимно-однозначное соответствие между простыми
измерениями и эрмитовыми операторами в ДГ, аналогичное соответствию (4.6)
между детерминированными измерениями и случайными величинами в теории
вероятностей. Эрмитовы операторы поэтому
f 6] СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
4!
играют в квантовой теории ту же роль, что случайные величины в теории
вероятностей; они называются также квантовыми наблюдаемыми (см. § 11.6).
Среднее значение результатов измерения {Ех\ непосредственно выражается
через соответствующую наблюдаемую по формуле
2 *jis (*) = 2 х Тг SEX = Тг SX.
X X
В обычном изложении квантовой теории отправным является понятие
наблюдаемой и установленное выше выражение для среднего значения
наблюдаемой. Это равносильно тому, что отправляться от простых измерений,
задаваемых ортогональными разложениями единицы. Мы видели, однако, что
ебщее статистическое описание измерения приводит, вообще говоря, к
неортогональным разложениям единицы. Выделение простых измерений должно
основываться на каких-то дополнительных соображениях; очевидно, что
формальная аналогия с классической теорией вероятностей не является
достаточным для этого основанием. В теории вероятностей исключительная
роль детерминированных измерений обосновывается предложением 4.1,
согласно которому статистика всякого измерения может быть выражена через
статистику детерминированных измерений посредством подходящей
рандомизации. Важно, однако, подчеркнуть, что аналог подобной теоремы в
квантовой теории уже не верен.
Обозначим через Ш(0) выпуклое множество всех разложений единицы {Ми\ и е
?/}.
Предл ожение 6.2. Всякое ортогональное разложение единицы {Еи', и еУ)
является крайней точкой множества 9R(U). Обратное утверждение верно лишь
для f/ = {0, 1}; если U состоит более чем из двух элементов, то
существует крайняя точка множества ЭЛ (?/), не являющаяся ортогональным
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed