Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
автоматически соответствовать в природе некоторая реальная процедура
приготовления, а всякому теоретическому квантовому измерению или
наблюдаемой - некоторая реальная измерительная процедура, - этот вопрос
нуждается в специальном изучении в каждом конкретном случае.
Поэтому в принципе не следует исключать возможность, что совокупность
экспериментальных данных, адекватно описываемая статистической моделью
квантовой теории, может допускать и существенно иную модель,
"пересекающуюся" с квантовой (так что "пересечение" охватывает все
экспериментальные данные). Впрочем, весь опыт развития квантовой теории,
находящей все новые экспериментальные подтверждения, свидетельствует о
том, что квантовая статистическая модель дает наиболее адекватное и
компактное описание явлений микромира,
$ 7] ЗАМЕЧАНИЯ К ПРОБЛЕМЕ СКРЫТЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
45
Теоретические концепции квантового состояния и измерения являются
результатом определенной идеализации и отражают существенные черты
реальных физических экспериментов. Любой общий результат, установленный в
рамках квантовой теории для всех теоретических состояний и измерений,
заведомо будет верен и для "реализуемых" состояний и измерений постольку,
поскольку квантовая теория дает правильную модель реальности. В то же
время подобные результаты было бы невозможно получить, не опираясь на
математические концепции состояния и измерения.
§ 7. Замечания к проблеме скрытых переменных
Рассмотренные в § 5 примеры показывают, что наличие ограничений в
распределениях вероятностей возможных измерений в классической модели
может привести к возникновению выпуклых множеств состояний, радикально
отличающихся от симплекса. Покажем, что на самом деле всякое выпуклое
множество состояний можно рассматривать как результат редукции
классической модели с надлежащим образом подобранными ограничениями. Для
простоты мы предположим, что рассматриваемое множество состояний
конечномерно, а результаты измерений могут принимать конечное число
значений, но доказательство может быть обобщено и на общий случай.
Теорема 7.1. Всякая отделимая статистическая модель, множество состояний
которой является ограниченным замкнутым выпуклым подмножеством
конечномерного пространства, а измерения имеют конечное число значений,
является редукцией некоторой классической модели с ограничениями на
множество измерений.
Доказательство. Пусть @ - множество состояний,
- множество измерений модели. Обозначим через П остов множества
соответственно крайние точки будут обозначаться буквой со. Пусть S -
данное измерение; тогда функция шей, и е ?/, является переходной
вероятностью*) из Q в U. Таким образом, всякому изме-
*) В определении переходной вероятности требуется измеримость по
аргументу ш; это здесь выполняется, так как (•) является сужением
аффинного функционала (¦) на множество крайних точек Q, которое измеримо
для любого замкнутого выпуклого множества.
46
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
рению М: S->p5 соответствует переходная вероятность Д1 = {р,ш(ц)}, причем
соответствие взаимно-однозначно: из теоремы 2.1 следует, что два аффинных
функционала, совпадающие на крайних точках, совпадают на всем выпуклом
множестве.
Рассмотрим Q как фазовое пространство классической модели с
ограничениями, в которой состояниями являются всевозможные распределения
вероятностей на Q, а измерения описываются переходными вероятностями вида
Д1 = {рш(ы)(, где 5->р5 -всевозможные измерения исходной модели.
Обозначим Ш множество таких классических измерений. Покажем, что редукция
этой модели совпадает с исходной.
Прежде всего заметим, что для любого распределения вероятностей Р на й
определен векторнозначный интеграл
$(c)P(d(c)) (7.1)
а
как интеграл от функции со значениями в линейном пространстве, содержащем
выпуклое множество @. Если
/
ТО
$ (c)Р (dсо) = 2 Pj(Oj> (7.2)
Q /
так что ^ (оР (dco) представляет собой некоторую точку
П
из @, т. е. состояние. В общем случае интеграл (7.1) является пределом
конечных выпуклых комбинаций вида
(7.2), и так как @ по предположению ограничено и замкнуто, то этот предел
также принадлежит Интеграл (7.1) является непрерывным аналогом выпуклой
комбинации чистых состояний. Так как всякий аффинный функционал на
конечномерном пространстве, очевидно, непрерывен, то для всякого
измерения
ц5(ы)= \iia(u)P (d<o), а
если
S = \ ioP (dco). а
ЗАМЕЧАНИЯ К ПРОБЛЕМЕ СКРЫТЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
47
Пусть теперь и Р2 -два неразличимых классических состояния на Q, так что
$ (и) Рх (dсо) = $ (и) Р2 (da), u<=U,
Q Q
для всех измерений /И = {рш(ы)}. Согласно сказанному выше, это равенство
можно переписать в виде
ps,(") = ps2("). u<=U,
где Sj = J aPj (da), /= 1, 2. Из отделимости исходной о
модели вытекает тогда, что
5t = $ aPx (da) = J aP2 (da) s= S2. a a
Таким образом, классу неразличимых классических состояний [Р] взаимно-
однозначно соответствует исходное состояние § aP (da), где Р - любой
представитель класса. Это соответствие, очевидно, аффинно; более того,
