Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
оно отображает множество классов [Р] н а множество состояний @, так как
для любого шей класс, содержащий чистое классическое состояние 8Ш,
отображается в со. Используя теорему 2.1, мы заключаем, что для любого
Se@ найдется конечное распределение вероятностей {pj} и со у е Q такие,
что 5 = [2Р/6Ш/]. Таким образом, редукция модели (ф (Q), ЗЙ) приводит к
множеству состояний <25 и множеству измерений 9Л, так что
§Ha>(u)P(da) = H[PI(u) (7.3)
для любого измерения.
Рассмотрим эту конструкцию в наиболее интересном для нас случае квантовой
теории. Пусть Q" -единичная сфера в "-мерном комплексном пространстве
векторов-столбцов ф,
Q" = {ф: ф*ф = 1}.
Два вектора ф, ф' задают одно и то же состояние 5,1, = фф*, если ф = Рф',
где |А| = 1. Обозначим через Q" множество соответствующих классов
эквивалентности в Qn. Элементы множества Q" находятся во взаимно-
однознач-
48
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
ном соответствии с чистыми состояниями множества Множество Q" будет
играть роль пространства Q для классической модели с ограничениями,
которую мы сейчас построим.
Пусть Р (dip) - распределение вероятностей на Тогда интеграл
SP = J т|пр*.Р (dip)
определяет матрицу плотности Покажем, что
всякая матрица плотности представима в таком виде. Согласно (2.6), 5 =
2]Я/5ф.. Очевидно, что 5^, =
/
= J ipip* 8ф. (dip), так что S = SP, где Р = h Таким
/
образом, P-^-Sp является аффинным отображением симплекса на множество
квантовых состояний.
Пусть 5 -Ц5 (и) -- квантовое измерение. Согласно предложению 6.1,
|As (и) = Tr SMU,
где {Мп} - некоторое разложение единицы. Рассмотрим переходную
вероятность из в U:
Л1ф(ы) = ц5ф(ы) = ф*Л1аф. (7.4)
Тогда для любого измерения
^ (и) Р (dip) = nSp (и).
Таким образом, статистическая модель квантовой теории является редукцией
классической модели с множеством состояний (й") и измерениями, которые
задаются переходными вероятностями вида (7.4), где \Ми) - произвольное
разложение единицы.
Отметим, что в случае п - 2 эта конструкция совпадает с классической
моделью для экспериментов с частицей со спином 1/2, которая была
построена в § 5. В этом
случае существует взаимно-однозначное соответствие между чистыми
состояниями и точками сферы S2 (направлениями приготовляющего фильтра),
дающими содержательное классическое описание процедуры приготовления
состояния. В самом деле, как отмечалось в § 2, условие 6е$2 эквивалентно
тому, что матрица (2.9) является одномерным проектором 5^ = ipip*; таким
образом, уста-
§ 7] ЗАМЕЧАНИЯ К ПРОБЛЕМЕ СКРЫТЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 49
навливается соответствие между S2 и й2. Следовательно, всякое
распределение вероятностей на й2 можно рассматривать KjfcK распределение
вероятностей на S2. т. е. как классическое состояние в эксперименте,
изображенном на рис. 5.
Возможность подобной содержательной интерпретации классической модели,
формальная конструкция которой дается теоремой 7.1, для других квантовых
объектов зависит от того, можно ли интерпретировать элемент fell, как
"полный список", дающий классическое описание процедуры приготовления. Мы
не будем здесь углубляться в этот вопрос, однако заметим, что уже для
частиц со спином j>1l2 появляются векторы состояний ф, для которых
затруднительно дать интерпретацию с точки зрения экспериментов с
вращающимися поляризующими фильтрами, как это было сделано для случая / =
г/2 в § 5.
Мы видели, что для всякой достаточно регулярной статистической модели
можно, по крайней мере формально, построить классическую модель (с
ограничениями на измерения), которая будет статистически эквивалентна
исходной в том смысле, что выполняется соотношение (7.3) для
распределений вероятностей всевозможных измерений. В этом смысле всякая
статистическая модель, в том числе модель квантовой теории, формально
эквивалентна некоторой модели со "скрытыми переменными". Роль набора
"переменных" играет со, пробегающая фазовое пространство Q, а эпитет
"скрытые" указывает на отсутствие полной наблюдаемости, которая
выражается в наличии ограничений на измерения. Это утверждение, конечно,
не означает возможность сведения квантовой механики к той или иной форме
механики Ньютона, однако оно кажется противоречащим широкоизвестному
тезису о невозможности введения "скрытых переменных" в квантовую теорию.
В этом положении, высказанном фон Нейманом, речь также идет лишь о
статистическом описании результатов квантовых измерений. Первоначальная,
довольно спорная аргументация фон Неймана была впоследствии значительно
усовершенствована и доведена до уровня весьма нетривиальных теорем (см.
комментарии).
На самом деле здесь, конечно, нет противоречия. Чтобы доказать ту или
иную теорему, надо формализовать понятие теории со скрытыми переменными.
Конструкция
50
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. !
теоремы 7.1 не обладает некоторыми дополнительными свойствами, которые
постулируются при "доказательствах невозможности". В общих чертах эти
додолнительные требования сводятся к тому, что квантовым наблюдаемым
