Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 32

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 103 >> Следующая

/
где | X \ = У Х*Х = Д] | Xj 11 е,) {е, |, и /
I Х |!з = У = У Тг Х*Х.
Мы собираемся определить "некоммутативные" аналоги этих пространств, не
связанные с требованием диагональ-ности, пополняя по соответствующим
нормам пространство операторов конечного ранга.
Обозначим это пространство 5 ("$0; пространство всех ограниченных
операторов будет обозначаться 23 (<ДГ). Индекс h внизу будет обозначать
соответствующие вещественные пространства эрмитовых операторов.
Пополнением по операторной норме |]-|| является простран-
ство вполне непрерывных операторов. Мы не будем обсуждать здесь свойства
этого важного класса и отметим лишь, что для эрмитовых вполне непрерывных
операторов справедлив аналог конечномерной спектральной теоремы: всякий
такой оператор допускает спектральное разложение вида (7.1), где {fy} -
базис из его собственных векторов, а {Х/} - собственные значения
(стремящиеся к нулю).
Перейдем к аналогу пространства I1. Если X -эрмитов оператор, то оператор
|Х | определяется соотношением
(3.9); для произвольного ограниченного X положим
|х |'=1/х*хТ
Так как jX[2 = X*X, то для всех г|э е &ЙГ выполняется
III X | ч|) 1 = I Хг|э|. (7.3)
Заметим, что если Teg (зЖ), то | Т [ <= g (<ДГ). Положим
II71 |lj = Тг | Г |. (7.4)
Докажем, что для любых Г, X eg (о%Д
|ТгГХ 1^71,-!|Х ||. (7.5)
86 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
Поскольку | Т | - эрмитов оператор конечного ранга, то для него
существует базис из собственных векторов {су}. Из (7.3) получаем \Tej\ =
\\T\ei\ = (eJ\\T\ej), так что
I Тг ГХ|=|2(Х*еу|Геу)|<1Л:*|.2| Те, || = | X | ¦ || ТI,.
/ /
Полагая в (7.5) Х = Е, где Е - проектор на подпространство, содержащее
все векторы фу, фу из представления Т = 2] j фу) (г|)у [, имеем ТХ = Т,
так что
\TrT\^\\Tk.
Это неравенство показывает, что естественной областью определения следа
должно быть пополнение пространства %(<Ж) по норме S-Hi. Сформулируем
конечный результат.
Теорема 7.1. Соотношение (7.4) определяет норму на % (<Ж); пополнение %
(еЖ) по этой норме является банаховым пространством $4 (&/Г), которое
состоит из ограниченных операторов Т таких, что Тг | Т | < сю.
Однозначное линейное непрерывное продолжение следа на З;1 (<?Ж) дается
соотношением
ТгГ=2(еу|Геу),
/
где ряд сходится к одному и тому же значению для любого
ортонормированного базиса {Су}.
Операторы класса 5? (оЖ) называются операторами с конечным следом или
ядерными. Всякий ядерный оператор является вполне непрерывным. В самом
деле, для Ге§(^Г)
\т\шт1и
так как, согласно (7.3) и (1.8), 171 = 11 7'||| = sup (jLl1 т I 44
(t i
sg; Tr | T |. Поэтому пополнение % (еЖ) по норме 1| • Ь содержится в
пополнении § (оЖ) по норме || • ||.
Отсюда следует, что всякий эрмитов ядерный оператор имеет спектральное
разложение
I. (7-6)
I
ОПЕРАТОРЫ ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА И ЯДЕРНЫЕ
87
где ряд из собственных значений сходится абсолютно, так как 2 \t/ | = Тг
| Т |. Ряд (7.6) сходится по норме || ¦ ||х; при /
этом
Тгг=2*/-
i
Полагая
Т+= 2 '/1е/Не/!- Г--'? */|еу)(М,
<У>0 ОХ,-
имеем
Т = Т+-Т-, | Т' | = 7^+ + 7^_, (7.7)
так что
ji 7 (, = Тг Т+ + Тг Т_ = 1Т+ J, + IIТ_ |х.
Всякий положительный оператор с конечным следом является ядерным и,
следовательно, допускает спектральное разложение (7.6) с tj^O. В
частности, всякий оператор плотности имеет спектральное разложение (2.2).
Сопряженным к пространству последовательностей /1 является пространство
всех ограниченных последовательностей с. Основываясь на неравенстве
(7.5), можно установить некоммутативный аналог этого факта.
Теорема 7.2. Если Т- ядерный, X - ограниченный операторы, то ТХ и XT -
ядерные операторы и имеют место соотношения (1.18), (7.5). Банахово
пространство 33 (е%Д является сопряженным к банахову пространству 51
{'Ж), так что всякий непрерывный линейный функционал на 51 (е/Г) имеет
вид Т -^ТгТХ, где X еЗЗ(о2Г).
Для вещественных банаховых пространств эрмитовых операторов имеет место
аналогичное утверждение: (5л (о5Г))* = ЭЗл (о2Г). Рассмотрим выражение Тг
ТХ, задающее двойственность пространств 5л (ДГ) и 33л (о2Г). Оно обладает
свойством, аналогичным тому, которое выражается леммой 1.6.2: ТгТХзгО для
всех Т^О тогда и только тогда, когда X 3=0. Отсюда, в частности, следует,
что если ТЗгО и Y^X, то ТгТХ^ТгТТ.
Теперь мы можем доказать теорему 2.1. Пусть S -vp,s- некоторое измерение.
Рассмотрим вещественную линейную оболочку множества состояний @ ().
Всякая линейная комбинация
i
88
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. И
операторов плотности является, очевидно, эрмитовым ядерным оператором.
Обратно, пусть Г е SI, (¦=%''); тогда согласно (7.7)
T = f+S+-f_S_,
где t± = Тг 7V, S± = (/+)-1 7V - операторы плотности. Таким образом,
линейной оболочкой множества @(^Г) является пространство (е%Д эрмитовых
ядерных операторов.
Фиксируем множество 5 и рассмотрим аффинный функционал S->ps(S) на @(о%Д.
Продолжим его до линейного функционала на (о%Д, полагая
р (Г) =2^.(5),
/
если Т - 2] fySy. Корректность такого продолжения обо-/
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed