Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
{Е (5)}
в некотором более широком пространстве е%Д
М(В) = ЁЕ(В)Ё\ (5.1)
где Е - проектор из ЗЖ на ЗЖ . Легко понять, что, проецируя таким образом
любое, в частности, ортогональное разложение единицы, мы всегда получим
некоторое разложение единицы в 33. Как показал Наймарк, верно и обратное
утверждение.
Теорема 5.1. Всякое разложение единицы {М (В)} в ЗЖ" может быть
продолжено до ортогонального разложения единицы {Е (В)} в более широком
пространстве ЗЖ', так что будет выполняться (5.1).
Основываясь на этом результате, мы покажем, что произвольное квантовое
измерение М в определенном смысле сводится к простому измерению Е над
некоторой квантовой системой, включающей кроме исходного объекта
некоторые дополнительные независимые "степени свободы".
Для этого нам понадобится понятие тензорного произведения гильбертовых
пространств, служащее для математического описания системы квантовых
объектов.
Пусть ЗЖ 1( ЗЖ~2 - гильбертовы пространства со скалярными произведениями
(• | • )i и (• I' )г соответственно. Рассмотрим множество X формальных
конечных линейных комбинаций элементов ф! х ф2 = ^i X Введем в линейном
пространстве X положительно определенную эрмитову форму (-1 -), полагая
(Фх X ф2 I Фх X фа) = (фх I Фх)х • (фг ! Фг)2 (5.2)
и продолжая ее на X по линейности. Пусть -нулевое подпространство этой
формы; тогда фактор-пространство XfaA^ является предгильбертовым
пространством со скалярным произведением, определяемым формой (5.2).
Пополнение X/аХ' и называется тензорным произведением гильбертовых
пространств ЗЖ" х, ЗЖ" 2 и обозначается ЗЖ~Х <2> ЗЖ'2. Вектор
пространства ЗЖ\ 0 ЗЖ" 2, соответст-
О РЕАЛИЗАЦИИ ИЗМЕРЕНИЯ
77
вующий классу эквивалентности вектора Хф2 е X, обозначается ^ (r) ф2. Из
(5.2) следует, что
(Ф1 0 Фг I Ф1 0 Фг) = (Ф11 ФЖ' (Фг I Фг)г (5.3)
Хорошую иллюстрацию этой абстрактной конструкции дает следующий пример.
Пусть х = Хг (Rn) - пространство квадратично-интегрируемых функций ф3
(х), х е Rn, и = X2 (Rm) - пространство квадратично-интегрируемых функций
ф2(*/), yeRm- Тогда состоит из ко-
нечных сумм вида
Ф(*. У) = 2 Фа (*) Фа (У),
/
причем
(ф IФ) = И тТ^Гу) ф (х, y)dnxdmy,
а 6Ж, <S> <2^г состоит из всех квадратично интегрируемых функций ф (х,
у)\ х е |Rn, у е |Rm, с тем же скалярным произведением. Вектор ф! (r) ф2
соответствует функции Фi (*) Фг (У)-
Вернемся к общему случаю. Если {е{} - базис в ,, а {е2} -базис в <Ж2, то
система {ej(r)4} образует базис в j (r) (Жг (имеются в виду ортонормированные
базисы).
Рассмотрим элемент ф = ^ Ф1 0 Ф2 ^ ^i 0 Разла-
гая ф2 по базису {4} и объединяя множители при каждом векторе 4> получим
ф = 2] Ф? 0 4> где ф* - некоторые
k
однозначно определяемые векторы пространства е%Г1. Заметим, что
подпространства <3%' 1 (r) 4 *- 1 0 е^"2>
состоящие из векторов вида ф] 0 е\\ ф^&Гц взаимноортогональны. Таким
образом, фиксируя базис в е5)Г2, мы получаем разложение 0 о2Г2 в
ортогональную сумму подпространств, изоморфных a%Y:
(r) "ЯГ, = 2 0 [<ДГг 0 4]- (5.4)
k
Тензорное произведение операторов Х3 (r) Х3, где X, - ограниченный оператор
в аХГ), определяется формулой
(X, (х) Х2) (фх <g> ф2) = Ххфх 0 Х2фа
78
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. II
на элементах вида ^ 0 ф2 и однозначно продолжается на (х) s%^2 п0
линейности и непрерывности.
Рассмотрим фиксированное разложение (5.4). Тогда всякг й ограниченный
оператор X в оЖ1 0 <Ж% задается блочной матрицей [X/k\, элементами
которой являются операторы в е%Д, по формуле
Х^^(r)4| = 2](2] ЗД?) (r) el
В частности, оператору Х[(r)Х2 соответствует матрица
[X, (е{ | Х24)2].
Предложение 5.1. Для любого измерения /И - = (М(5)} в sЖ найдутся
гильбертово пространство <?Ж {), чистое состояние S0 в и простое
измерение Е-{Е (?)} в такие, что
= Be=e*(U), (5.5)
для любого состояния S в .
Здесь pf- распределение вероятностей измерения Е
относительно состояния S 0 S0, a ps - распределение вероятностей
измерения М относительно состояния S.
Доказательство. Пусть Е - ортогональное разложение единицы в зЖ,
существование которого утверждается в теореме 5.1. Расширяя
дополнительно, если необходимо, пространство <=Ж и продолжая Е, мы можем
считать, что <±Ж = яЖ (c) (c)..., причем так, что еЖ =
= Х(r)[0](r) [0] ф... Тогда Ж = (r) ДГ0, где <?Г0 =
= 1г - пространство квадратично-суммируемых последовательностей {су; /=1,
2,...}. Пусть 50 = S^, где ф = {1, 0, 0,...}; тогда оператор 5 0 S0 имеет
матрицу
~S 0 ..."
0 0 ...
и непосредственно очевидно, что для любого ограниченного оператора Е в <Ж
0 выполняется Тг (S 0 S$)E - <= ТгSEEE. Учитывая (5.1), получаем (5.5).
СОВМЕСТНАЯ ИЗМЕРИМОСТЬ
79
Это предложение утверждает, что измерения Е и /И статистически
эквивалентны в том смысле, что имеют одинаковые распределения
вероятностей результатов для любого состояния S.
Мы будем называть тройку (Ж0, S, Е) реализацией измерения М. Реализация
соответствует простому измерению над системой <Ж Cg> Жо. состоящей из
исходной системы Ж и вспомогательных независимых "степеней свободы" Ж0 в
