Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ма(В) - 0 или МЩ(В) = 1,
Это означает, что если объект приготовлен в чистом состоянии, то для
любого В е вт€ (U) результат измерения с вероятностью 1 принадлежит либо
не принадлежит В. Это можно записать также в следующем виде:
М(а(В)2 = М(Л(В), В е q/Z (U). (4.3)
Раскроем смысл этого условия, ограничась для простоты измерениями с
конечным числом значений. Такое измерение задается набором переходных
вероятностей Ж = {Жсо(и); и е?/}, где Мш(и) - вероятность результата и
относительно чистого состояния удовлетворяющим
условиям
Жш(")Эг о, 2yw"(") = l; вей. (4.4)
U
Если Ж -детерминированное измерение, то Мш(и) равно 0 или 1. Обозначая
1/Дсо) индикатор множества F cz Q, т. е. функцию, равную 1 на F и 0 вне
F, имеем
Жш(") = Ци)(ю), где С2(и) = {ш: М(0(и) = 1}.
Из (4.4) вытекает, что множества Цц) при разных и не пересекаются и в
объединении составляют ?2, т. е. образуют разбиение пространства Q.
Поэтому для любого со
28
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
есть единственное значение и = и (со), для которого Ма (и (со)) = 1. При
этом
Ма (В) = Ма (и) = \в {и (со)). (4.5)
иеВ
Функция и (со) является случайной величиной на й со значениями в U;
формула (4.5) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между
детерминированными измерениями и случайными величинами со значениями в U.
Чтобы сделать эту связь еще более прозрачной, рассмотрим дискретную
вещественную случайную величину X (со) на Q, принимающую конечное число
значений {х}. Пусть Q(a.) - подмножество Й, на котором X принимает
значение х, тогда
х М = .?*• Ч*> (")= 2*мш(*)- (4-6)
X X
Таким образом, случайной величине X однозначно сопоставляется
детерминированное измерение М = {Л4Ш (х)}, так что X принимает значение х
тогда и только тогда, когда х является результатом измерения М.
Аналогичные, но технически более сложные рассмотрения можно провести и
для измерений с непрерывным пространством значений U: при некоторых
предположениях можно показать, что формула (4.5) устанавливает взаимно-
однозначное соответствие между случайными величинами и детерминированными
измерениями.
Мы можем теперь формализовать постулат полной наблюдаемости, приняв
следующее определение:
Классической статистической моделью называется модель, в которой
множеством состояний служит симплекс распределений вероятностей (й) на
"фазовом" пространстве й, а класс измерений ЭЛ содержит всевозможные
детерминированные измерения.
Рассмотрим теперь множество ЭЛ (U) всевозможных аффинных отображений вида
(4.2). Оно, очевидно, является выпуклым множеством.
Предложение 4.1. Детерминированные измерения образуют остов множества
(U).
Доказательство. Пусть М = {Ма (В)} - детерминированное измерение, и пусть
М = р^М0 р^М1, т- е.
Мш (В) = р0М% (В) + PlMla {В), fieo/ {U).
КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
29
Возводя это равенство в квадрат и используя равенство Ма>(В) = Ма(В)2,
получаем
PoMl (В) + (В) =
= рЖ (В)2 + р\МI (В)2 + 2PoPlMl (В) Ml (В)
или
р0М1 (В) [ 1 - Ml (В)] + рхМ\ЛВ) [ 1 - Ml (В)] +
+ PoPi [Л4ю(В) - Ml (В)]2 = 0.
Отсюда, учитывая неравенство Ml (В) [1 - Ml (B)]^s 0 и аналогичное
неравенство для /И1, получаем Л4щ(В) = ==Л4щ(В), а это означает, что М
является крайней точкой множества ЭЛ (U).
Обратно, пусть /И= \Ма (В)} - крайняя точка множества Ш(1!). Пусть Bj -
фиксированное подмножество из (U), B2 = U\Bl - его дополнение. Положим
Л4±(В) = Л4И(В)± МИ(В1)МШ(ВПВ2)-
-Мш(В,)Мт(ВПб1)]. (4-7)
Тогда Ма (В) = 1 Mi, (В) + ~М1 (В). Покажем, что
{м! (В)} являются переходными вероятностями из Q, в U. Для этого
достаточно проверить, что М§(В), Bee/ (U), для каждого шеО являются
распределениями вероятностей. Очевидно, что Л4йг (U) = Ма (U) - 1 и что
Л4<р (В) являются мерами по В, так как каждое из слагаемых в (4.7)
является мерой. Остается проверить только, что Л4ш (В) 5; 0, а это
следует из неравенства
Ма (В) ^Ма(В ПВ,) [1 гр Ма (В2)] +
+ МШ(ВПВ,)[1±МШ(В1)]^0.
Из того, что М - крайняя точка, вытекает, что Л4р(В) = Л4ш(В), B<=e^(U),
т. е.
Ма (В,) Ма (В П в2) = Ма (В2) Л4Ш (В П В,).
Полагая здесь В = ВХ и учитывая, что В1ПВ2 = 0, имеем Ма (В2) Ма (Вх) = 0
или Ма (Вх) [1 - Ма (Вх)] = 0. Следо-вательно, {Ма (В)} -
детерминированное измерение.
Пусть \М'} - некоторый конечный набор измерений из v)l(U) и {р/} -
распределение вероятностей. Тогда
30
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
выпуклая комбинация М = {Л4т(В)}, где
ЛЫЯ)=2>М'Й(Я). B^a^(U),
описывает рандом изованное измерение, в котором с вероятностью pj
производится измерение №. Физически это может соответствовать флуктуациям
тех или иных параметров измерительного устройства. В простейшем случае,
когда и ?>, и U конечны, 5>J (U) является компактным выпуклым
подмножеством конечномерного пространства и из теоремы 2.1 вытекает, что
всякий элемент множества 9ЭТ (U) можно рассматривать как рандомизованное
измерение. Аналогичный результат справедлив и для значительно более
общего случая: при некоторых естественных ограничениях на пространства Q
