Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
конечным числом значений. В этом случае число возможных результатов
индивидуального измерения конечно и распределение вероятностей
результатов измерения задается конечным набором аффинных вещественных
функций {|As("); u<=U\ на @, удовлетворяющим условиям
p,s(u)=2=0, ueU; 2 M") = l- (3.1)
иеи
Здесь fis (и) - вероятность результата и относительно состояния 5. Для
любого В cz U
Ps(B)= ? ps("). иев
КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
26
Технически этот случай гораздо проще непрерывного и в то же время он
позволяет понять основные положения теории. Практически измерения с
конечным числом значений соответствуют измерительным процедурам, целью
которых является некоторая классификация данных. В то же время легко
представить себе, что измерения непрерывных величин могут быть
аппроксимированы измерениями с конечным числом значений путем разбиения
пространства U на достаточно мелкие части.
Измерения с двумя значениями будут называться тестами. Обозначая один из
результатов теста 1, а другой-О, получаем, что всякий тест определяется
заданием одной функции на (c) - например, вероятности получения 1, так как
ц5(0) = 1 - (1). Вероятность ps(l) яв-
ляется аффинным функционалом на @, удовлетворяющим УСЛОВИЮ 0 ^ )TS (1)
s?; 1.
Пусть S (As (du) - измерение с произвольным пространством значений U.
Тогда всякому измеримому подмножеству Bc^U можно сопоставить тест S{p,s
(В), ц5(В)}, результат которого равен 0, если и^В, и 1, если иеВ. Таким
образом, всякое измерение можно рассматривать как определенным образом
согласованное семейство тестов.
§ 4. Классическая статистическая модель
В § 1 мы видели, что состояние можно рассматривать как сжатое описание
исходных условий эксперимента. Попытаемся уточнить понятие "исходных
условий", приняв дополнительно, что они допускают теоретическое описание
в виде, вообще говоря, бесконечного "списка исходных данных" (c). Обозначим
через О = {(c)} множество всех конкретных списков, отвечающих всевозможным
вариантам исходных условий. Назовем О фазовым пространством объекта.
Далее, мы хотим учесть возможность того, что при повторении
индивидуальных экспериментов входные данные могут испытывать случайные,
отклонения, обусловленные практической невозможностью в точности
воспроизвести одинаковые условия либо неопределенностью некоторых
параметров. Чтобы охватить такие ситуации, мы будем рассматривать
распределения вероятностей на Q
26
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
(следует, конечно, предположить, что в Q выделена а-алгебра ed (Q)
измеримых подмножеств; мы будем считать также, что ed (Q) разделяет точки
Q, см. § 2).
Всякое распределение вероятностей Р на Q мы назовем классическим
состоянием. Его следует интерпретировать как полное статистическое
описание стадии приготовления. Всякому списку со дд ^отвечает чистое
состояние
Г 1, Аз со,
s"(/1)-|o. 3S", А =
Согласно § 2 множество Ц? (Q) всех классических состояний является
выпуклым множеством простейшей структуры-симплексом, а чистые состояния
являются крайними точками этого множества.
Перейдем к измерениям. Всякое измерение со значениями в пространстве U
описывается аффинным отображением
P-+\ip{cLu) (4.1,
множества классических состояний ф(П) в множество распределений
вероятностей ФЧ^)- Обозначим через Ma(du) распределение вероятностей
данного измерения относительно чистого состояния бщ (т. е. Ma(du) = р,вщ
(du)). Рассмотрим смесь чистых состояний
P(d(o) = 2pa6(oa(dco).
а
В силу аффинности отображения (4.1) распределение вероятностей данного
измерения относительно такого состояния будет даваться формулой
lip(B) = \M(?,(B)P(da), B<=i&t(U). (4.2)
При некоторых дополнительных предположениях эта формула будет верна для
любого классического состояния Р. Мы не будем углубляться в этот вопрос,
а просто ограничимся измерениями Р-^-[тР, которые задаются соотношениями
(4.2), где Ма (du) - п е р е х о д н а я вероятность*) из ?2 в U. Если Р
характеризует неопределенность
*) Т. е. функция аргументов го е Q и fie (U), которая измерима по (о при
каждом фиксированном В и является распределением вероятностей как функция
В при каждом фиксированном щ.
* 4] КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
27
в исходных условиях эксперимента, то распределение вероятностей Ма (du)
описывает статистическую погрешность измерения, вносимую измерительным
прибором. Формула
(4.2) показывает, каким образом эти два источника случайности входят в
итоговую статистику измерения. Условимся кратко обозначать через Ж набор
вероятностей {Ma(du)}, а также задаваемое ими измерение (4.1).
В основе классической статистической модели, определение которой будет
дано ниже, лежит допущение о полной наблюдаемости, согласно которому
любые параметры объекта могут быть измерены с абсолютной точностью. Для
того чтобы дать математическое выражение этому допущению, введем
следующее понятие. Измерение Ж= {Ma(du)\ называется детерминированным,
если для любого toefi и любого В е о/? (U) имеет место альтернатива
