Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
состояние 6е соответствует полностью поляризованному, а равномерное
распределение -хаотическому пучку.
Обозначим Poout (6in) вероятность прохождения частицы в эксперименте на
рис. 5. Из соображений симметрии естественно ожидать, что эта вероятность
зависит только от величины угла ф между направлениями Gin и 0оиь или от
его косинуса, соБф - t. Итак, P5ouj (0in) = F(t), - 1 Cf С 1.
Если направление 0out совпадает с 0in, то весь пучок, выходящий из
первого фильтра, пройдет через второй. Если направление 0оШ
противоположно 0in, то весь пучок поглотится вторым фильтром. Отсюда
F{ 1) = 1, F(- 1) = 0.
Вообще, для любого направления 0out отклонившиеся частицы пойдут либо в
направлении 0out, либо в противоположном, откуда F (t) + F (- /) = 1, или
-* - F (/) =
= - ~ ф- F (-t). Таким образом, у - F ( ) является нечетной функцией /.
Простейшей непрерывной функцией, удовлетворяющей этим условиям, является
линейная функция
14-1 14-0 . • 0- ш
F (t) = -у-, откуда Peout (Gin) = j-121 = cos2 у,
где 0Х • 02 - скалярное произведение векторов в R3. Как мы увидим далее,
именно такое выражение дает для вероятности Реои1 (0ш)
квантовомеханическая модель в двумерном комплексном пространстве. Это
распределение подтверждается и экспериментальными данными.
Таким образом, в нашем случае пространством П является сфера S2> а
множество тестов ЭЯ является семей-
14-е - о ,
ством функций вида Х(0) =--------^---'" Gout^S2- Условие
неразличимости двух классических состояний Р1Г Р2 сводится к следующему:
\Q.%Pl(dQ)=\e-0oP.i(dQ), 0oeS8,
$ 61 СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 37
или jj ЬРХ (d6) = 5 0Р2 (d0). Следовательно, состояния находятся во
взаимно-однозначном аффинном соответствии с векторами, представимыми в
виде jj0P(d0), где Р -распределение вероятностей на S2, т- е. с точками
единичного шара в трехмерном пространстве, который изоморфен @2.
Соответствие P-*-S, аффинно переводящее классические состояния Р в
квантовые S, дается формулой
5_ф + $взР("1в) $(01-Й2)Р("ЮЛ
_ 2 Lj (0i + "а) р (М) 1 -§B3P(dB) J'
где 0 = [0j_, 02, 03]. Сопоставляя тесту, который характеризуется
направлением OOut = [0i. 0а, 0з], матрицу
y=lfl+0.' 01-"Г
2 [оj + ioj i-в; J'
получаем два выражения для условной вероятности получить результат и = 1
для теста X (•) в состоянии S:
Рг{1 |S} = TrSX = $X(0)P(d0).
Если угодно, мы дали явное построение модели со "скрытыми переменными"
для частицы со спином 1/2. Мы продолжим обсуждение этого вопроса в §7, а
сейчас рассмотрим общую статистическую модель квантовой механики.
§ 6. Статистическая модель квантовой механики
Основным предметом нашего рассмотрения будет статистическая модель, в
которой состояния описываются комплексными эрмитовыми матрицами S,
удовлетворяющими условиям
0, Тг S = 1
(.матрицами плотности). Множество таких матриц является выпуклым
подмножеством вещественного линейного пространства всех эрмитовых п X "-
матриц, причем крайними точками являются матрицы плотности вида
= (см. § 2); они описывают чистые состояния. В дальнейшем для нас
основной интерес будет представлять бесконечномерный аналог матрицы
плотности, однако в этой главе мы ограничимся конечномерным случаем,
чтобы объяснить некоторые принципиальные положения,
38
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
не останавливаясь на технических трудностях, связанных с
бесконечномерностью.
Помимо множества состояний, для задания статистической модели необходимо
описать множество измерений. Согласно общему определению, всякое
измерение с пространством результатов U описывается аффинным отображением
множества состояний в множество распределений вероятностей на U.
Предположим для начала, что множество U конечно, и рассмотрим в этом
случае более подробно математическую структуру такого отображения. Предл
ожение 6.1. Соотношение
ps(w) = TrSMa, u<=U, (6.1)
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между аффинными
отображениями S -v ps множества матриц плотности в множество
распределений вероятностей на U и разложениями единицы, т. е. наборами
эрмитовых матриц {Ми; и е U], удовлетворяющих условиям
Ма5г0, ? Мв=1. (6.2)
йен
Лемма 6.1. Всякий аффинный функционал р. (S) на имеет вид р (S) = Тг SM,
где М - эрмитова матрица. Доказательство леммы. Множество матриц
плотности порождает вещественное линейное пространство X всех эрмитовых
матриц. Это означает, что всякая эрмитова матрица представляется в виде Т
= ^ tjSj, где
/
t) - вещественные числа, Sj - матрицы плотности (для доказательства
достаточно рассмотреть спектральное разложение матрицы Т). Построим по р
(S) функционал на X, полагая
p(T) = ?*yp(S,).
/
Для обоснования корректности этого определения необходимо показать, что
сумма в правой части не зависит от способа представления Т в виде
линейной комбинации матриц плотности, т. е. что равенство ^ t,S/ = ^
t'kS'k
/ *
влечет (S;) = ^ ^ ОЗД- Перенося, если необходимо,
i *
§ 6] СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 39
