Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Фундаментальную роль в теории выпуклых множеств играет понятие крайней
точки. Точка S называется крайней точкой выпуклого множества <2>, если
она не является внутренней точкой отрезка, целиком лежащего в @, т. е. не
может быть представлена в виде S=p0S0 + p1S1, где Ро' Po + Pi = l> *So>
е @ и Sq + Sj.
Множество всех крайних точек назовем остовом выпуклого множества. В
конечномерном линейном пространстве имеет место
Теорема 2.1. Всякое компактное (ограниченное и замкнутое) выпуклое
множество @ совпадает с выпуклой оболочкой множества своих крайних точек.
В произвольном выпуклом множестве одну и ту же точку S можно представить
в виде выпуклой комбинации крайних точек, вообще говоря, разными
способами. Раз-
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
19
ложение по крайним точкам однозначно для любой точки Se@ тогда и только
тогда, когда @ является симплексом. Заметим, что крайними точками
симплекса являются его вершины.
Теорема 2.1, определение и характеристическое свойство симплекса
обобщаются и на бесконечномерный случай, однако аккуратное изложение этих
вопросов потребовало бы больше места, чем позволяют рамки этой книги. В
то же время для понимания следующих разделов достаточно приведенных выше
конечномерных результатов. Остановимся лишь на одном примере, который
встретится дальше.
Рассмотрим множество всевозможных распределений вероятностей ф (Q) на
некотором фиксированном измеримом пространстве Q. Это множество является
выпуклым, так как всякая выпуклая комбинация или "смесь" распределений Pj
(dсо), очевидно, является распределением на Q:
Всякой точке cogQ отвечает б-распределение, сосре^ доточенное в точке со:
Не ограничивая общность, можно считать, что ст-алгебра в/# (Q) разделяет
точки Q, т. е. для любых оц, со2 е Q существует А<=ет#(0) такое, что
соjgA, со2ё=Л. Тогда соответствие со^-бш является взаимно-однозначным.
Крайними точками множества ^3 (Q) являются б-распределения и только они.
Очевидно, что для любого йе*13(й)
Это представление является непрерывным аналогом разложения по крайним
точкам, причем роль набора коэффициентов pj здесь играет распределение Р
(diо). Представление (2.1) однозначно, так что выпуклое множество ^3(Q)
обладает свойством, характеризующим в конечномерном случае симплекс, и мы
сохраним за ним это название.
P(A)='ZpiPj(A), Ле^(А).
/
А э со, у4э(й.
Р(А)= 5Я(сгсо)бм(Л), Лев^(О). (2.1)
20
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
Для иллюстрации рассмотрим случай, когда Q = Q" состоит из конечного
числа п точек (е^(Q) является булевой алгеброй всех подмножеств Q").
Тогда множество
= = [/?!, РпЬ Д] ру = 1|,
очевидно, является (п - 1)-мерным симплексом с вершинами [1, 0, ..., 0],
... , [0, ..., 0, 1].
Для нас будет удобно записывать Р в виде диагональной матрицы:
Pi 0
Р =
0 рп
Тогда условия, характеризующие Р, запишутся в виде P=s0, ТгР = 1, (2.2)
где Тг обозначает след матрицы, т. е. сумму диагональных элементов.
Если X -случайная величина на Q", принимающая значения хг, ..., хп, то,
полагая
Х =
0
0
получаем, что математическое ожидание величины X относительно
распределения вероятностей Р равно
Д] Pjx] = Тг РХ. /=1
(2.3)
Рассмотрим множество D,n случайных величин, удовлетворяющих условию
0<ху<1, т. е.
0<Х<1, где I-единичная матрица.
(2.4)
Тогда П" будет выпуклым множеством - единичным гиперкубом, а его крайними
точками - вершины гиперкуба, т. е. такие матрицы X, для которых Xj равно
0 или 1. Для таких матриц Х2 = Х, так что крайними точками множества П"
являются проекционные матрицы.
"л
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
21
Этот простейший пример позволяет естественно подойти к другому, который
представляет основной интерес в связи с квантовой теорией.
Рассмотрим множество всех комплексных эрмитовых лхл-матриц S = [smm'],
удовлетворяющих условиям типа (2.2):
SSsO, Тг 5 = 1. (2.5)
Согласно конечномерной спектральной теореме, всякая эрмитова матрица
представляется в виде
S = J]A,ySv (2.6)
/= 1
где %] - (вещественные) собственные числа (без учета кратности), a Sify =
ij)/"!)/- взаимно-ортогональные проекторы *) на единичные собственные
векторы матрицы 5. Это называется спектральным разложением матрицы S. Из
условий (2.5) следует, что собственные числа матрицы 5 е образуют
распределение вероятностей
Л, 5*0, 1.
/=i
В частности, O^Xysgl, и из (2.6) получаем
5-52 = |] Ml-МЧ^О-
/=1
При этом S - S2 тогда и только тогда, когда 5 = Sy для некоторого
единичного вектора т. е. когда 5 является одномерным проектором.
Предл ожени е 2.2. Множество 0'" выпукло', его остов образуют одномерные
проекторы.
*) Подразумевается, что скалярное произведение векторов-столб-
П
цов ф = [фт\ И ф = р|)т] определяется как ср*гр = ^ Фт'Рт, где
т=1
ф*-эрмитово сопряженный вектор-строка. Произведение столбца г|з на строку
г|з* является гаХга-матрицей с компонентами fЕсли г|) - единичный вектор,
гр= 1, то S,j, = i|a|>* является матрицей ортогонального проектирования
на вектор гр.
