Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
33
= {Q/} неразличимы тогда и только тогда, когда соответствующие векторы
лежат на одной прямой с направляющим вектором е, для некоторого t
Pi- Qi + t, Pg - Qs t,
Pi = Qo-\-t, Pi~ Qi
(5.2)
Если изобразить *p4 в виде тетраэдра, погруженного в трехмерное
пространство (рис. 3), то числа Pj будут барицентрическими координатами
точки внутри тетраэдра {Pj есть расстояние от точки до грани,
противоположной вершине /), а уравнения (5.2) задают прямые, проходящие в
направлении, соединяющем середины ребер [1, 2] и [3, 4].
Класс неразличимых состояний образуют точки тетраэдра, лежащие на любой
такой прямой. Поэтому множество состояний можно отождествить с проекцией
тетраэдра вдоль указанного направления на любую подходящую плоскость (см.
рис. 3).
Множество состояний является в этом случае выпуклым четырехугольником на
плоскости.
На этом примере уже видно, каким образом ограничения на множество тестов
приводят к "склеиванию" состояний и возникновению новых выпуклых
множеств, в которых нет однозначности представления по крайним точкам. Не
входя пока в более подробное обсуждение этого вопроса, заметим, что
ограничения на множество измерений могут возникнуть как отражение тех или
иных эмпирических "законов симметрии". В нашем примере роль такого
"закона" играет равенство (5.1); в статистических моделях квантовой
механики, где существенную роль играет пространственно-временное описание
объекта, на первый план выходят законы симметрии относительно групп
кинематических и динамических преобразований (пространственных и
временных сдвигов, поворотов, отражений).
Рассмотрим теперь пример, относящийся к квантовой механике, а именно к
описанию квантовой частицы со спином 1/2. Мы увидим далее, что состояния
такого
34
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
объекта описываются двумерными матрицами вида (2.9). Как было показано в
§ 2, множество всех таких матриц @2 можно представить как шар в
трехмерном вещественном пространстве. Полезно проследить, какого рода
ограничения могут привести к отображению классического симплекса на
выпуклое множество, которое в смысле однозначности разложения по крайним
точкам "противоположно" симплексу: вся граница его состоит из крайних
точек и разложение является в высшей степени неоднозначным.
Рис. 4.
Рассмотрим схему эксперимента Штерна - Герлаха, который в свое время и
привел к открытию спина. Пучок частиц (в опытах Штерна - Герлаха это были
атомы серебра) пропускался между полюсами магнита, который создавал
неоднородное магнитное поле В Частицы, прошедшие через поле, оседали на
пластинке %, так что по распределению плотности вещества, осевшего на
пластинке, можно было судить об отклонении частиц под действием
неоднородного магнитного поля В (рис. 4).
Тогда как классическая теория предсказывала всевозможные отклонения, т.
е. более или менее равномерное осаждение вещества на пластинке, в
эксперименте наблюдалось четкое разделение отклонившихся частиц на два
симметричных пучка Используя атомы других веществ, можно было получить
расщепление исходного пучка на другое число компонент 2/ + 1, где / -
целое или полу-целое число, называемое спином данного сорта атомов (при
расщеплении на два пучка спин равен 1/2).
РЕДУКЦИЯ статистической модели
35
Рассмотрим модифицированный эксперимент Штерна - Герлаха, в котором
вместо пластинки находится экран с отверстием, пропускающий верхний пучок
и поглощающий нижний. Такого рода прибор можно назвать фильтром Штерна -
Герлаха. Отфильтрованный пучок, который называется поляризованным в
направлении В, не распадается далее при повторном пропускании через поле
с тем же направлением В, однако распадается, если направление В будет
другое. При пропускании через второй фильтр с противоположным
направлением В отфильтрованный пучок полностью поглощается.
Рис. 5.
Схематизированное "полное описание" фильтра определяется заданием
единичного вектора 0 = [01, 62, 63] в трехмерном пространстве,
указывающего ориентацию фильтра, т. е. направление В (все остальные
параметры остаются фиксированными и поэтому могут быть исключены из
описания). Рассмотрим следующий эксперимент: пучок частиц определенной
интенсивности пропускается через фильтр 0in (приготовление), затем
выходящий пучок пропускается через фильтр 0out, после чего с помощью того
или иного детектора определяется интенсивность прошедшего пучка
(измерение) (рис. 5). Отношение "выходной" интенсивности к половине
"входной" интенсивности дает для индивидуальной частицы вероятность того,
что частица, "приготовленная" фильтром 0in, пройдет через 0out
(предполагается, что пучок, входящий в 01п, является "хаотическим", так
что ровно половина входящих частиц проходит через 0;п).
Пространством Q в этом случае будет множество всевозможных направлений
0in, т. е. единичная сфера S2 в трехмерном вещественном пространстве.
Классическое
36
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
состояние Р (dB) на S2 описывает "частично поляризованный" пучок, чистое
