Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
находящихся вне контроля экспериментатора. Природа статистичности
поведения объектов микромира не столь ясна, хотя пятидесятилетний опыт
успешного применения статистических концепций в квантовой теории
несомненно свидетельствует о том, что они дают правильную картину.
Мы не будем затрагивать здесь вопроса о природе статистичности в
микрофизике, хотя и коснемся некоторых математических аспектов
соответствующей "проблемы скрытых переменных" в § 7. Основное внимание мы
уделим здесь следствиям сформулированного выше статистического постулата
для произвольного объекта, удовлетворяющего этому требованию. Мы покажем,
что уже на таком общем уровне возникают фундаментальные понятия состояния
и измерения, играющие, в частности, столь важную роль в квантовой теории.
Условно представим себе объект как "черный ящик", на "входе" которого
могут создаваться те или иные исходные условия S. После того как объект
приготовлен определенным образом, экспериментатор производит то или иное
измерение и получает данные и. Выходные данные и могут иметь различный
характер. Они могут быть дискретными, например, в том случае, когда
измерительный прибор является пороговым устройством, регистрирующим
наличие или отсутствие определенной частицы, либо непрерывными, если
прибор имеет шкалу или несколько шкал. Выходными данными могут быть
показания нескольких приборов. Наконец, результатом измерения может быть
целая траектория - фотография следа частицы. Чтобы дать единообразное
рассмотрение всевозможных ситуаций, мы примем, что множество
индивидуальных результатов измерения образует некоторое измеримое
пространство U с о-алгеброй измеримых подмножеств (U). Измеримому
подмножеству ВсгП
соответствует событие: результат измерения и ле-
жит в В*).
*) Читатель, не знакомый с концепцией измеримости, может условно
представлять себе U как область в многомерном пространстве, а В - как
"достаточно хорошее" подмножество U. Однако у нас V может быть гораздо
более сложным образованием - например, пространством непрерывных функций.
14
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
Согласно статистическому постулату, результат индивидуального
эксперимента можно рассматривать как реализацию некоторой случайной
величины, принимающей значения в U. Пусть р§ (du) - распределение
вероятностей
этой случайной величины. Индекс § отражает зависимость статистики
результатов измерения от процедуры приготовления, т. е. от исходных
условий эксперимента, так что
|Т? (В) = Рг {и ее В15}, В е= вУб (U),
есть условная вероятность получить результат иеВ при исходных условиях 5.
Можно сказать, что полное статистическое описание результатов измерения
дается отображением S-+-\ig(du), сопоставляющим конкретным исходным
условиям 5 распределение вероятностей pg на пространстве U результатов
измерения. При этом следует подчеркнуть, что, давая полное описание
результатов измерения, отображение не содержит
никаких указаний ни о конкретном механизме измерения, ни о его
последствиях для рассматриваемого объекта. С этой точки зрения
измерительные процедуры не различаются, если для любых исходных условий 5
они приводят к одному и тому же распределению вероятностей хотя
практически они могут осуществляться совершенно различными приборами.
Каждой конкретной измерительной процедуре отвечает отображение 5однако
одно такое отображение может объединять в себе целый класс измерительных
процедур, не различающихся статистикой результатов.
Точно так же исходные условия Sj и 52 являются неразличимыми с точки
зрения статистики результатов измерения, если Р,§ Для любого
отображения S ->
~>Р|, описывающего измерительную процедуру. Объединим неразличимые
процедуры приготовления 5 в классы эквивалентности S = [S], которые
назовем состояниями. Пусть @5 = {5} - множество всевозможных состояний.
Поскольку распределение вероятностей одинаково
"и
СОСТОЯНИЯ и ИЗМЕРЕНИЯ
15
для всех S из одного класса S, то его можно считать функцией состояния
(.ig=|is. Отображение S-->-p,s из множества состояний в множество
распределений вероятностей на пространстве результатов U будем называть
измерением.
Статистический постулат налагает определенное ограничение на структуру
множества состояний (c) и описывающее измерениеотображение S->-p,s. Пусть
Sa, а=1, ... ..., А, - какие-либо состояния. Предположим, что
экспериментатор не знает точно, в каком из этих состояний приготовлен
объект, однако ему известны вероятности ра того, что приготовленным
состоянием является а = = 1, ..., А. Фактически это означает, что в
неограниченной последовательности индивидуальных экспериментов объект
приготавливается в одном из состояний Sa, причем появление состояния Sa
характеризуется соответствующей частотой. Физически это соответствует
флуктуациям тех или иных параметров, характеризующих приготовительную
процедуру. Пусть в каждом из индивидуальных экспериментов производится
одно и то же измерение. Тогда согласно статистическому постулату и
