Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
и U можно показать, что всякое переходное распределение вероятностей {Ма
(du)} из Q в U является "непрерывной выпуклой комбинацией"
детерминированных измерений
M,(S) = $K(S)Q(da), Ве^([/).
Эта формула описывает рандомизованное измерение, в котором Q (da)
является рандомизующим распределением на множестве детерминированных
измерений. Таким образом, не ограничивая существенно общности, можно
считать, что в классической статистической модели измерения описываются
всевозможными отображениями вида (4.2) множества состояний ^ (Q) в
множество ф) (U), где U - достаточно произвольное пространство
результатов измерения.
В заключение этого раздела остановимся на описании тестов в классической
модели. Всякий тест однозначно задается вероятностью единичного исхода X
(со) = Ма (1), которая является функцией на Q, удовлетворяющей условиям
0<Х(ю)<1. (4.8)
Вероятность единичного исхода относительно классического состояния Р
равна
5 X (сo)P(do).
Для детерминированного теста X (со) - 0 или 1, так что X (со) = 1аш (со).
Таким образом, детерминированный
РЕДУКЦИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
31
тест задает дихотомию фазового пространства Q =
= ^(1) U ^(0)> ^(1) П ^(0) = Ф-
Если пространство Q конечно, Q = Q", то множество всевозможных
классических тестов (4.8) является "-мерным единичным гиперкубом Ол, а
его крайними точками являются вершины гиперкуба (см. § 2). Вероятность
единичного исхода для теста {Ха} относительно состояния {РД равна
СО
§ 5. Редукция статистической модели.
Классическая модель с ограничениями на множество измерений
Предположение о полной наблюдаемости, на котором основывается
классическая статистическая модель, является определенной идеализацией, и
выводы, к которым приводит это предположение, разумеется, должны
сопоставляться с данными опыта. Фактически далеко не всякий воображаемый
эксперимент является реально выполнимым, и возможность неограниченно
увеличивать точность измерений представляется не столь безусловной. Не
вдаваясь здесь в обсуждение природы ограничений на множество возможных
измерений, изучим с общих позиций последствия для статистической модели,
к которым приводит наличие таких ограничений.
Рассмотрим произвольную статистическую модель с множеством состояний @ и
множеством измерений ЭЛ. Два состояния Sx, S2 назовем неразличимыми, если
для любого измерения S->-ps из класса ЭЛ распределения вероятностей
совпадают: . Статистическую модель
(@, ЭЛ) назовем отделимой, если в ней нет неразличимых состояний S2.
Допустим, что экспериментатор, проводящий измерения, не знает, в каком из
состояний Sx, S2 действительно приготовлен данный объект. С точки зрения
такого экспериментатора, располаггющего лишь статистикой всевозможных
измерений, неразличимые состояния будут абсолютно идентичными, что и
оправдывает этот термин.
Можно объединить неразличимые состояния S в классы эквивалентности [S],
Отображение S->-[S] аффинно, и множество классов эквивалентности будет
некоторым
32
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
новым выпуклым множеством Полагая fi[s] = ps, где S - какой-либо
представитель из класса [S], получаем новую статистическую модель с
множеством состояний 0' и измерений 301. Эта модель совершенно
эквивалентна исходной с точки зрения описания статистики результатов
измерения, однако она уже является отделимой. Описанный переход от
исходной модели к отделимой мы назовем редукцией. Фактически мы уже
встретились с таким переходом в § 1; проведенные там рассуждения
показывают, что именно отделимая статистическая модель является конечным
продуктом анализа статистики измерений.
Интересным в этой тривиальной конструкции является то, что редуцированное
множество состояний 0' может радикально отличаться от исходного множества
0. В частности, если исходным множеством является классический симплекс
^3 (О), то, подбирая соответствующим образом множество измерений ЭЛ, в
качестве 0' можно получить практически любое выпуклое множество. В
частности, свойство однозначности представления по крайним точкам уже
может не иметь места для редуцированных состояний из 0'. Чтобы
проиллюстрировать это положение, приведем простейший пример.
Рассмотрим некоторый условный объект, для которого имеются четыре
различных варианта приготовления чистого состояния, т. е. Q = Q4, так что
всякое состояние задается вектором [pi Р.] из трехмерного симплекса ^34.
В качестве измерений мы будем рассматривать только тесты. Рассмотрим 4-
мерный гиперкуб Q.4 = {[A'j, ..., Х4]: / - 1, ..., 4} и подмножество
тестов ЭЛ, получающееся от пересечения куба с гиперплоскостью
•^1 + ^2 = + Xf (5-1)
Состояния Р = {Р/f и Q={Q/l неразличимы относительно множества тестов ЭЛ,
если из (5.1) следует
/ /
т. е. если вектор [Pj - Qy] перпендикулярен гиперплоскости (5.1).
Ортогональное дополнение к (5.1) является одномерным подпространством,
натянутым на вектор е = = [1, 1, -1, - 1J, поэтому СОСТОЯНИЯ P = {Pj} И Q
РЕДУКЦИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
