Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 10

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 103 >> Следующая

22
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
Доказательство. Первое утверждение следует из того, что оба условия (2.5)
выдерживают образование выпуклых комбинаций. Докажем, что всякий
одномерный проектор S является крайней точкой. Пусть
S = p0S0 + p1S1; р0, рх > 0, р0 + р1 = 1; S0, SxeE@".
Возводя это соотношение в квадрат, вычитая S2 из S и учитывая, что S^S2
для получаем
S - S2 = р0 (S0 - So) -f- Pi (<Sx - SJ) -f- PoPi (S0 - Sjl)2 ^
: PoPi (So ^i)a*
Таким образом, из S = S2 следует S^Sj, так что S является крайней точкой.
Докажем обратное утверждение. Рассмотрим спектральное разложение (2.6).
Так как S^ е и S^.^S^k при ]Ф/г, то для матрицы S, являющейся крайней
точкой множества сумма (2.6)
может содержать только одно ненулевое слагаемое. Следовательно, S = S^
для некоторого /, что и требовалось доказать.
Формула (2.6) дает один из вариантов разложения S по крайним точкам.
Рассмотрим также выпуклое множество Д'л всех пхл-эрмитовых матриц X,
удовлетворяющих ограничениям (2.4). Покажем, что крайними точками
множества Дл являются проекторы, т. е. эрмитовы матрицы, удовлетворяющие
условию Х2 = Х, и только они. Доказательство того, что всякий проектор
является крайней точкой, проводится так же, как для @л; докажем, что
всякая крайняя точка обязательно является проектором. Запишем
спектральное разложение матрицы X:
т
X = ^xkEk\ OsCXftSjl, (2.7)
k=\
где xk - собственные числаХ (с учетом кратности), Ek - проектор на
собственное подпространство, отвечающее xk. Пусть хЛ > х2> ... > хт,
тогда, применяя к сумме (2.7) преобразование Абеля и учитывая, что Ег-\-
.. ,-\-Ет = I, имеем
т- 1
X = (1 - х{) • О -J- (xk - xk+\) • Е/1-\-хт ¦ I, (2.8) *=1
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
23
где E'k = ?1 + ..- + Ек. Так как О, I, а также E'k принадлежат а все
коэффициенты при них неотрицательны и в сумме составляют 1, то (2.8)
является выпуклей комбинацией (несовпадающих) проекторов. Если X -
крайняя точка, то сумма (2.8) должна состоять из одного слагаемого, так
что матрица X должна быть проектором.
Еще раз подчеркнем, что разница между множествами и @я (соответственно
между ?1" и %,) заключается в том, что во втором случае рассматриваются
все эрмитовы матрицы, тогда как в первом- только диагональные или, что то
же, одновременно диагонализуе-мые (коммутирующие) матрицы. Поэтому второй
случай можно рассматривать как "некоммутативный" аналог первого; так,
матрицу 5 ен @я можно назвать "некоммутативным распределением
вероятностей", эрмитову матрицу X -"некоммутативной случайной величиной",
задав среднее значение формулой типа (2.3). Дальше мы увидим, что здесь
кроется нечто большее, чем простая аналогия.
Аналогичным образом можно было бы рассмотреть и случай вещественных
симметричных матриц, однако для квантовой теории основной интерес
представляет именно комплексный случай.
В заключение рассмотрим подробнее структуру выпуклого множества @я в
простейшем "некоммутативном" случае п - 2. Всякая матрица S ^ @2 может
быть записана в виде
где 0!, 02, 03 - вещественные числа, называемые параметрами Стокса.
Условие 5^0 равносильно неравенству
Таким образом, @2 как выпуклое множество представляет собой шар в
трехмерном вещественном пространстве; крайними точками являются матрицы
(2.9), для которых точка [0г, 02, 03] лежит на сфере 0Ц + 0| +03 = 1.
В случае п > 2 множество @я является уже некоторым собственным
подмножеством (п2 - 1)-мерного вещественного шара и дать ему компактное
геометрическое описание представляется затруднительным.
Г 1 -{- 03 0Х - (05 2 |Л-М62 1 6з
(2.9)
0J + eS + 0i<l.
24
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
§ 3. Определение статистической модели
Основываясь на рассуждениях § 1, введем следующее определение:
статистической моделью назовем совокупность, состоящую из некоторого
выпуклого множества (r) и некоторого класса 3)1 аффинных отображений S ->¦
множества @ в множества распределений вероятностей на различных
пространствах U. Элементы множества (r) называются состояниями, а
отображения из Ш -измерениями. Проблему теоретического описания всякого
объекта или явления, удовлетворяющего статистическому постулату, можно
тогда сформулировать как задачу построения соответствующей статистической
модели. Говоря подробнее, такое построение должно, во-первых, содержать
описание математических объектов @ (множества теоретических состояний) и
3)1 (множества теоретических измерений) и, во-вторых, устанавливать
правила соответствия между реальными процедурами приготовления и
измерения и теоретическими объектами, т. е. задавать вложение
экспериментальных данных в статистическую модель.
В классической теории вероятностей и математической статистике
рассматриваются статистические модели, в которых множество состояний @
имеет особо простую структуру. Квантовая теория имеет дело с радикально
отличной статистической моделью. Мы рассмотрим эти модели в следующих
параграфах.
В этой главе мы часто будем проводить рассмотрения на измерениях с
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed