Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холево А.С. -> "Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории" -> 8

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.

Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории — М.: Наука, 1980. — 324 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnostnieistatisticheskiemetodi1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 103 >> Следующая

элементарным свойствам вероятностей появление того или иного результата и
будет описываться распределением вероятностей р (du) = (du). Описанную
выше ситуацию можно
СС
рассматривать как определенный способ приготовления состояния
(смешивание), при котором значение некоторого параметра а не фиксируется
точно, а выбирается согласно априорному распределению {ра}. Обозначим
такое состояние-смесь следующим образом:
S = S({Sa}, {ра}), (1.1)
так что для любого измерения выполняется
ps(du)^'^lpa)isa(du). (1.2)
СС
Таким образом, следует принять, что для каждого набора состояний {Sa} сг
(c) и распределения вероятностей {ра} существует однозначно определенное
состояние-смесь S({Sa}, {ра}), характеризуемое соотношениями (1.2).
Оказывается, что тогда мноэюество состояний можно есте-
1в ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГГЛ. I
ственно отождествить с выпуклым подмножеством некоторого линейного
пространства, так что будет выполняться
({Sqj,}, iPal) = У, PgSg.
а
Для точной формулировки этого и ряда других утверждений нам потребуются
сведения из теории выпуклости, изложению которых посвящается следующий
параграф.
§ 2. Некоторые геометрические понятия
Пусть Sj, S" - точки некоторого линейного пространства X, ри рп - набор
вещественных чисел, удовлетворяющий условиям
П
Р/^0, 2 Pi= 1 >
(= 1
т. е. конечное распределение вероятностей. Тогда точка
s= 2 Pfs,
/=i
называется выпуклой комбинацией точек Sj с коэффициентами (весами) pt.
Выпуклой оболочкой множества точек Ж cz X называется совокупность
выпуклых комбинаций всевозможных конечных наборов точек {S;} cz Ж.
Множество 0 называется выпуклым, если оно совпадает со своей выпуклой
оболочкой, т. е. содержит выпуклую комбинацию любого конечного набора
своих точек. Если ограничиться двумя точками S0, Slt то совокупность их
выпуклых комбинаций геометрически представляет собой отрезок, соединяющий
эти точки:
{S: S = + Ро, Pi 0, Po_l_Pi=l}-
Нетрудно убедиться, что множество 0 выпукло тогда и только тогда, когда
вместе с любыми своими двумя точками оно содержит и соединяющий их
отрезок.
Абстрактное множество 0 назовем пространством смесей, если каждому
конечному набору элементов |5а} cz cz0 и распределению вероятностей \ра}
сопоставлен однозначный элемент-смесь S ({Sa}, {ра}). Примером простран-
§21
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
17
ства смесей является выпуклое множество, если смесь определяется как
выпуклая комбинация.
Пусть F - отображение пространства смесей (c) в какое-либо линейное
пространство. Оно называется аффинным, если для любой смеси S({Sa}, {pa})
выполняется
F(S({Sa},{pa})) = ^paF(Sa).
a
Очевидно, что образ выпуклого множества при аффинном отображении является
выпуклым множеством. В линейных пространствах существует тесная связь
между аффинными и линейными отображениями: именно, всякое аффинное
отображение выпуклого множества (c) с: X является сужением на (c) отображения
вида Т -> L (Т) -f- L0; Т ^Х, где L - линейное отображение. В частности,
всякий аффинный функционал (т. е. отображение на вещественную прямую R) с
точностью до постоянного слагаемого совпадает с сужением на (c) линейного
функционала на X.
Пространство смесей называется отделимым, если для любых двух элементов
Su S2 е @ найдется аффинный функционал ф на (c) такой, что ф (Sx) Ф ф (S2).
Примером отделимого пространства смесей является множество состояний из §
1. В самом деле, для любого измерения S ->-ys и любого подмножества В е
e^(U) функционал является аффинным в силу (1.2). По
построению, для любых состояний Sx и S2 должно найтись измерение такое,
что p.s, т. е. \is, (B)=?p,Sa (В) для
некоторого В. Из следующего предложения вытекает, что всякое множество
состояний можно рассматривать как выпуклое подмножество некоторого
линейного пространства с операцией выпуклой комбинации в качестве
смешивания.
Предложение 2.1. Всякое отделимое пространство смесей @ взаимно-
однозначно и аффинно отображается на выпуклое подмножество линейного
пространства.
Доказательство. Пусть А ((c)) - линейное пространство всех аффинных
функционалов на (c). Рассмотрим сопряженное пространство Х = А(&)' всех
линейных функционалов на Л(@). Для каждого Se@ введем S е X, полагая
§ (ф) = Ф (S), ф е X.
18
ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ [ГЛ. I
Отображение S->-S является аффинным, так как 2,PjS; (ф) = Д] Р/ф (Sj) = Ф
(5 ({5У}, |ру|)) =
= S({Sy}, {ру})(Ф),
и взаимно-однозначным, так как (ф) = S2 (ф) влечет Ф (Si) = ф (S2) для
всех аффинных функционалов ф. Предложение доказано.
Простейшим примером выпуклого множества является п-мерный симплекс,
который определяется как выпуклая оболочка /1 + 1 точек общего положения
в пространстве
размерности п (точки S", Sj, Sn называются точками общего положения, если
п векторов SqSj, ..., S0Sn линейно независимы). В случае п = 1 симплекс
является отрезком, в случае п = 2 - треугольником, в случае/г=3 -
тетраэдром (рис. 2). Точки S0, ..., S" называются вершинами симплекса.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 103 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed