Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
4. Grimm R., Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 73В, 415 (1978).
5. Wess J., Zumino В., CERN preprint, TH 2553, Phys. Lett., (to be published).
6. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 74B, 333, 404 (1978); Ecole Normale preprint LPTENS 78/14.
7. Stelle K. S., West P. C., Phys. Lett., 74B, 330 (1978); Imperial College preprint ITCP/77-78/15; Nucl. Phys, B145, 175 (1978).
8. Wess J., Zumino B., Phys. Lett., 74B, 51 (1978).
9. Siegel W., Nucl. Phys., B142, 301 (1978).
10. Howe P. S., Tucker R. W., CERN preprint TH 2524, Phys. Lett., (to be pub-
lished).
11. Salam A., Strathdee I, Nucl. Phys, 76B, 477 (1974);
Ferrara S., Wess J., Zumino B., Phys. Lett, 51B, 239 (1974).
12. IFm I., Lecture Notes in Physics 77, p. 87, Springer-Verlag, Berlin.
13. Penrose R., Ann. of Phys, 10, 171 (1960).
14. Dragon N., Karlsruhe University preprint, 1978; Zs. Phys, C (to be published).
8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации
H. Дрэгон
Dragon N. ‘), Zs. f. Phys, Particles and Fields, С2, 29 (1979)
С помощью первых тождеств Бьянкн показано, что в расширенной супергравитации кривизну можно выразить через крученне и его ковариантные производные. Показано, что вторые тождества Бьянки вытекают нз первых. Таким образом, все выражения, содержащие кривизну, могут быть записаны через кручение, которое является фундаментальным геометрическим объектом в супергравитацин.
1. Введение
Супергравитадия может быть сформулирована либо в компонентном формализме [1], либо как геометрическая теория в суперпространстве [2]. Второй подход дает более глубокое понимание, поскольку он может рассматриваться как обобщение идей дифференциальной геометрии в ситуации, когда некоторые из координат антикоммутируют. При изучении свойств супергравитации обнаружился необычный факт: все компоненты кривизны могут быть выражены через кручение и его ковариантные производные.
В этой статье мы покажем, что в расширенной супергравитации кривизна также может быть выражена через кручение и что это общее свойство, не зависящее от ограничений, накладываемых на кручение. Источник этой особенности заложен в свойствах генераторов структурной группы, которые позволяют выразить некоторые циклические суммы через отдельные члены. Используя еще раз это свойство, мы покажем также, что вторые тождества Бьянки не дают новых условий, но выполняются как следствия первых. Этот результат должен значительно упростить проверки уравнений на кручение [5]. Прежде чем доказывать указанный результат, мы разберем технику ко-вариантного дифференцирования, которая позволяет применять тензорные формулы в тензорном исчислении с наличием грас-смановых величин.
‘) Institut fur Theoretische Physik, Universitat Karlsruhe, D-7500, Karlsruhe, Federal Republic of Germany.
SSpringer-Verlag
Перевод на русский язык, «Мир», 1983
8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации 163
2. Тензорное исчисление в суперпространствах
Важное обобщение тензорного исчисления — тензорное исчисление в суперпространствах — возникает при введении антикоммутирующих (грассмановых) объектов; при этом приходится следить за знаками, появляющимися при перестановке таких переменных. Соотношения (анти)коммутации обычно записываются в виде ZaZb = (— l)IAl',BIZBZA, где |Л| = 0 для коммутирующих объектов и |Л| = 1 для спинорных. Можно записывать это в виде ZaZb = ZbZa, понимая под этим равенством следующее: перестановка всех супериндексов левой части в том порядке, в каком они фигурируют в правой части, дает соответствующий знак, зависящий от четности индексов. Это соглашение позволяет все формулы дифференциальной геометрии рассматривать как формулы геометрии в суперпространстве; перестановка индексов в нужном порядке дает правильный знак. Все это будет подразумеваться во всех дальнейших формулах геометрии суперпространства. Формулы, записанные в явном виде в векторно-спинорном формализме, будут, конечно, содержать эти знаки. Необходимо позаботиться об индексах, по которым производится суммирование: в уравнениях они всегда будут расположены так:
V=Zmm + ! + (1)
m=0 v=l 1-І /=Iv=I
В качестве примера рассмотрим формулу, выражающую антисимметричность кручения:
Tabc = -Tbac\ (2)
в векторно-спинорных обозначениях она заменяется на
Tabc-----TbaC, Ta^ = -TtijaC, ТЩ1С = +T(ijatc. (2а)
Заметим, что наше соглашение изменяет определение циклической суммы. Легко показать, что знак, который дает это соглашение, таков, что тензорное преобразование
гг, CD... дZe dzF dz'C dz'D „ он ... ,0,,
Тлв... —gx-gr <3>
обладает необходимыми свойствами ассоциативности (оператор левого дифференцирования находится слева от дифференцируемого объекта). Поэтому наше соглашение превращает формулы обычного тензорного исчисления в суперпространственные формулы.
164 Я. Дрэгон
3. Тензор кривизны
Кривизна определяется через репер и форму связности и существенно зависит от выбора структурной группы, т. е. отношения эквивалентности для гладких реперов. В супергравитадии этой группой служит группа Лоренца, действующая одновременно в векторных и спинорных реперах, и некоторая группа внутренней симметрии, преобразующая спинорные реперы. Репер может рассматриваться как локальная система отсчета; в системе координат он задается своими компонентами влм'-
