Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Потенциал V = V+, оставшийся в качестве независимого поля, преобразуется по формуле V-*-V +S+ S+. Кроме того, Wd = Wt- Таким образом, калибровочная теория свелась вточ-
6. Суперсимметрия — супергравитация 141
ности к той теории, которая была введена в первой лекции. Соответствующий лагранжиан имеет вид
L ~ WaWa + WtW+*.
Прежде чем переходить к неабелеву случаю, я хочу продемонстрировать, как можно прийти к тому же результату, используя тождества Бьянки. В нашем случае тождество Бьянки
dF + q>F — Fq> = О
означает, что
eW [DcFba + VcFba - FBAq>c (- 1)с (а+6)} = 0.
или в компонентах
DaFcb + DcFba + DbFac = 0, (1)
D6Fcb + DcFbb + DbF6c = 0, (2)
DiFcb +DcFbb +DbFbc = 0, (3)
DnlFyb — DyFbb + DbFyb = 0, (4)
Di^b-DyFbb +DbFyb^O, (5)
DfiFyb - DyFbb + DbFy^ + 2IorybFrb = 0, (6)
DiFy^ + DyFp6 + D^F6y = 0, (7)
Vyp + DvFtb + + 2toV* + 2i^bFry ==0, (8)
DiF^ “Ь DyFpb + DpFbii + 2ia pyFrb + 2ia PbFrij = 0, (9)
DiF^ + DyFbb + DpFb^ = O. (10)
Если ввести требование Fap = Filb = Fab = 0, то из (8) и (9) находим
Fap = I Wbdabt, Frt = 1 д°Шу,
где Wy и Wy калибровочно инвариантны. Из (6) следует, что
DiW6*=* Dffib,
а также
Г» - W {(“A)"* + D.V,) + (5Л*)*в (DaWt + DtVt)).
Как мы уже знаем, все калибровочно инвариантные величины могут быть выражены через Wa и Wa.. Из (4), (5) получаем
142 Й. Весе
Отсюда следует, что ограничения на Wa в точности такие же, какие были получены выше из прямого решения.
Неабелев случай
Потребуем выполнения тех же условий, что и в абелевом случае:
Из равенства Fa$ = 0, т. е.
^афр “Ь ^рфа {фо, фр} О,
получаем
Фа = —e~VDaeV, а из равенства F^ = O находим
Фй = — euDae~u.
Нужный закон преобразования фл при калибровочных преобразованиях получится, если положить
ev —>-е5+еиеЛ, е~и —>¦ е~те-ие\
Отсюда можно получить правила преобразования для U, V V-*V + A + S++ ...,
U-+U — A + T+ ....
Из Ftf = 0 следует, что поле <ра также может быть выражено через U, V-
Тензорные величины Fab, Faa, Fad СУТЬ фуНКЦИИ ОТ V, V. ОнИ могут быть выражены через два инварианта Wa, Wn- Это сразу следует из тождеств. Кроме того, из тождеств следует также, что
Щк = ^)aw$=о,
SbaWa = ^aWci.
Производные 3) — это полные ковариантные производные, определенные из первого структурного уравнения.
Поскольку Tr(WaWa) калибровочно инвариантен, то
Tr (WaW^ = D6Tr (WaWf) = О,
поэтому Tr WaWa и IvWdWil могут быть использованы для построения суперсимметричных калибровочно инвариантных лагранжианов. Остается ввести условие вещественности, связывающее Wd с Wt, которое сужает калибровочную группу до под-
6. Суперсимметрия — супергравитация 143
группы скалярных суперполей A = S. Этого снова можно добиться, потребовав, чтобы Ztpa было эрмитовым с точностью до калибровочных преобразований, а также таким закреплением калибровки, при котором U = О, V+=V. В такой калибровке инвариант Wa принимает значение
Wa = DDe-vDf/.
Таким образом, мы вывели неабелеву суперсимметричную теорию из общего формализма. Этот метод может быть применен к расширенной суперсимметрии; одно его приложение описано в готовящейся статье Р. Гримма, М. Сониуса и автора.
Лекция 4. Супергравитация
Можно ожидать, что в суперсимметричной калибровочной теории токи суперсимметрии являются источниками полей: тензор энергии-импульса — источник гравитонов, спин-векторный ток — источник частиц спина 3/2. Следовательно, формулировка супергравитации потребует по меньшей мере одного поля спина 2 и одного поля спина 3/2; такую теорию, действительно, можно построить. Мы разовьем ее с помощью общих методов дифференциальной геометрии.
Обобщенная тетрада Ema вводится как независимая переменная, так же как и форма связности Фм,ав¦ Нашей основной задачей будет нахождение ковариантных уравнений, сводящих число независимых компонент полей Ema и Фм,ав только к одному полю спина 2 и одному — спина 3/2. Относительно общекоординатных преобразований
я 'M
dz'M = dzN ^-Jr dzN
E и Ф преобразуются следующим образом;
P' А _ ^2N „ А
Cm— д/м bN •
ф'м.лв=-^-Ф»:лв-
Теперь необходимо выбрать структурную группу, под действием которой форма тетрады dzMEMA = Ea и форма связности фдв = = dzM<f>MAB преобразуются следующим образом:
E' а = евХва,
Ф'/ = X-1acOcdXdb + X~\D dXDB.
Мы знаем, что ФАВ принимает значения в алгебре Ли. Чтобы уменьшить, насколько возможно, число независимых полей, мы
144 fj. Beco
выберем наименьшую возможную структурную группу — саму группу Лоренца. Параметры преобразований суть произвольные функции от zM — (л:"1, 0^-, Bli). При таком выборе 8 X 8-матрица Фав содержит только 6 независимых суперполей. Первое и второе структурные уравнения определяют кручение и кривизну:
Q4 = dEA — Eb Фва,
Rab = йФАв — ФАСФСВ.
Форма кривизны также принимает значения в алгебре Ли. Подробнее эти уравнения записываются в виде
Qb/ = (-1)61е+т)ЕсМЕв%ЕмА - (-1Г EBMEcNdNEMA - ФВСА+
_|_ (—1)6сФсвл,
RDEAB = (-lfle+m)EBMEDNd^MAB-(-1)а{е+а+с)ФВАСФосв -
